一类混合密度 Holling-Ⅱ功能性反应函数三种群捕食系统的渐近性

郑秀亮

(河北北方学院理学院,河北张家口075000)

1 引 言

种群的持续生存和渐近稳定性是生态系统稳定性的一个重要研究课题,许多文献对此都进行了深入的研究并且取得了很好的结果 (见文献[1-5]).近年来,具有 Holling功能性反应的Lotka-Volterra食饵-捕食者模型受到学者的关注,其中很多有关一个捕食者种群,两个食饵种群的三种群捕食模型中[6-8],每一个食饵被捕食者发现的发现率仅与本身的密度有关.在实际环境中,其发现率还与另外一个食饵的密度有关,即与两个食饵的种群总和的密度有关,故本文研究以下一类混合密度Holling-Ⅱ功能性反应函数三种群捕食系统.

其中 xi(t)(i=1,2,3)分别表示种群 Xi(t)(i=1,2,3)在时刻t时的密度,系数 a1i(t)(i=0,1,2),a2i(t)(i=0,1,2),a3i(t)(i=0,1,2,3),a1(t),b1(t),b2(t)均为连续正的有界函数,为方便起见,对任意连续有界函数 f(t)引入记号

考虑到生态意义,故假定模型 (1)满足初始条件 xi(0) ＞0的解 xi(t) ＞ (i=1,2,3).

2 系统 (1)的持久生存

定理 2.1 假设系统 (1)满足下列条件

证明 设(x1(t),x2(t),x3(t))是系统 (1)满足初始条件 xi(0)＞0(i=1,2,3)的解,由系统 (1)的第一个方程,得

利用引理2.1,得

即对任意小的ε＞0,存在 T1＞0,当 t＞T1时,

有:

利用引理2.1,得

即对任意小的ε＞0,存在 T2=max{T1,},当 t＞T2时,有:

系统 (1)的第一个方程与 (11),

得

即对任意小的ε＞0,存在 T3＞T2,当t＞T3时,有:

同理:即对任意小的ε＞0,存在 T′3＞T2,当 t＞时,

有:

由 (4),(7),(11),(15),(16),(20)知:当t＞T4时,系统 (1)的解是持久生存的.

3 正解的全局渐近稳定性

定理3.1 若系统 (1)满足条件 (H1)- (H2)及下列条件:存在正数ρ使得

成立,则系统 (1)的任意正解是全局渐近稳定的.

证明 设 X (t) = (x1(t),x2(t),x3(t))是系统 (1)满足初始条件 xi(0) ＞0 (i=1,2,3)的任意正解,Y (t) = (y1(t),y2(t),y3(t))是系统 (1)的任意正解,构造Lyapunov函数

则V (t)沿系统 (1.1)的解的上右导数为

D+V(t)≤sgn{x1(t)-y1(t)}

由条件 (H3) - (H5),得

两端 T(T＞T4)到t上积分,

得

根据定理2.1知|xi(t)-yi(t)|,(i=1,2,3)以及它们的导数在 [T,+∞)上是有界的,且

是一致连续的,根据引理2.2得

所以系统 (1)的任意正解是全局渐近稳定的.

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