实数集R上几个常见拓扑的比较

李艳颖

(宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡 721007)

实数集R上几个常见拓扑的比较

李艳颖

(宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡 721007)

给出了实数集R上的7个子集族,并证明它们是R的拓扑基,决定了R上7个不同的拓扑,同时还对这些拓扑进行了比较,得到它们之间粗细的确定关系。

实数集;拓扑;拓扑基;严格细于

实数集在点集拓扑学中占有相当重要的位置,它是抽象拓扑空间的一个最好的、最直观的、最接近实际的例子。因此弄清楚R上的拓扑基及由基生成的拓扑之间的关系,是我们学好点集拓扑学的必备基础。本文给出了实数集R上的7个子集族,并证明它们是R的拓扑基,他们决定了R上7个不同的拓扑,同时还对这些拓扑进行了比较,得到它们之间粗细的确定关系。

1 基本概念与定理

定义1[1]若 X是一个集合,X的拓扑基是 X的一个子集族β(其成员称为基元素)使得:

(1)对每个x∈X,至少存在一个包含x的基元素B;

(2)若 x属于两个基元素B1,B2的交,则存在包含 x的基元素B3,使得B3⊂B1∩B2。

注:条件(1) 等价 ∪B∈βB=X[2]。若对于任何B1,B2∈β,有B1∩B2∈β,这时 ∈β必然满足条件(2)[2]。本文在证明中经常用到这两个条件。

定义2[1]设Γ和Γ1是给定集合 X上的两个拓扑,若Γ1⊃Γ,则称Γ1细于Γ;若Γ1⊃Γ是真包含关系,则称Γ1严格细于Γ。

定义3[3]若两个拓扑中的任何一个都不细于另一个,则称它们是不可比较的。

定理1[1]设 X为一个集合,β是 X上拓扑Γ的一个基,则Γ等于β中元素所有并所成的族(由此定理可知β⊂Γ)。

定理2[1]设β,β1分别是 X上拓扑Γ,Γ1的基,则下列陈述等价:

(1)Γ1细于Γ;

(2)对于每个x∈X及包含x的每个基元素B∈β,存在一个基元素B1∈β1,使得 x∈B1⊂B若是真包含关系,则称Γ1严格细于Γ。

2 实数集上7个拓扑基及其拓扑

在本部分,我们将应用第一部分的定义与引理,证明以下7种集族可以构成 R上的拓扑基,并同时对它们决定的7个不同的拓扑进行比较,得到它们的粗细关系。在本文中除特殊注明外,小写英文字母都属于实数集。

1)证明β1={(a,b)|a＜b}是实数集的一个拓扑基。

显然,此集族可以满足定义1中的两个条件,构成实数集的一个拓扑基,并且β1决定的拓扑就是由R的所有开区间构成的通常拓扑,记为Γ,且Γ=β1∪{Ф}。

2)证明β2={[a,b)|a＜b}是实数集的一个拓扑基。

证明显然β2满足条件(1)的等价形式∪B∈β2B=R,并且对于任何 B1,B2∈β2,有 B1∩B2∈β2,这时β2是实数集的一个拓扑基,并且β2决定的拓扑我们通常称为实数下限拓扑,记为Γl。

明显地,它与实数集的通常拓扑有很大区别。对于每个(a,b)∈Γ,我们可以这样选取β2中的基元素,对于任何 i∈Z+,任意选取bi∈R,使得 a＜…＜b2＜b1＜b以及于是有(a,b)= ∪i∈Z+[bi,b),因此(a,b) ∈Γl,即Γ ⊂ Γl;反过来的包含关系却明显不成立,故Γl严格细于Γ。

此外,类似Γl与Γ比较,可以证明ΓlQ严格细于Γ,即ΓΓlQΓl。

4)证明β3={(a,b]|a＜b}是实数集的一个拓扑基。

证明显然β3满足定义1的条件(1),并且对于任何B1,B2∈β3,或者B1∩B2≠Ф或者B1∩B2∈β3,因此β3是实数集的一个拓扑基,并且β3决定的拓扑我们通常称为实数上限拓扑,记为Γu。

按照证明Γl严格细于Γ的方法,很容易可以得出Γu严格细于Γ的结论。而Γl与Γu是不可比较的,因为取[a,b)∈β2,对a∈[a,b)不存在[c,b)∈β3,使得 a∈(c,d]⊂ [a,b),即Γl⊄Γu;同理,Γu⊄Γl。

5)证明β4=β1∪{B-K|B ∈β1},K=是实数集的一个拓扑基。

证明β4中包含两类集合:(1)(a,b)∈β1;(2)

由β1⊂β4,可知β4满足定义1的条件(1)。对任意的B1,B2∈β4,若B1,B2∈β1,则显然满足定义1的(2);否则有两种情形:(1)B1=(a,b)-K,B2=(c,d)-K,若 B1∩B2≠ Ф,则

(2)B1=(a,b),B2=(c,d)-K,若B1∩B2≠Ф,则

因此β4是实数集的一个拓扑基,记为Γ-K。

显然β1⊂β4,由定理1,Γ⊂Γ-K。反过来,(0,1)-K∈Γ-K,明显地,(0,1)-K∉Γ,从而由定理2,有Γ-K严格细于Γ。同时,明显地,有(0,1)-K∉Γl与(0,1)-K ∉Γu,而[a,b) ∈Γl与(a,b]∈Γu也显然无法由β4中基元素取并表示,所以Γ-K与Γl,Γu是不可比较的。

6)证明β5={(a,+∞)|∈R}是实数集的一个拓扑基。

证明显然 ∪B∈β5B=R,并且对于任何B1=(a,+ ∞),B2=(b,+ ∞)∈β5,不妨设 a＜ b,有B1∩B2=B2∈β5,于是β5是实数集的一个拓扑基,它决定的拓扑通常称为实数集的右手拓扑,记为Γrig,且Γrig=β5∪{Ф}。

由于β5⊂β1,则由定理2,Γrig⊂ Γ。反之,对任意的(a,b) ∈Γ,且 b＜+ ∞,由Γrig=β5∪{Ф}即知(a,b)∈Γrig,从而Γ严格细于Γrig。

7)证明β6={(-∞,a)|a∈R}是实数集的一个拓扑基。

证明仿照5的方法即可证明β6是实数集的一个拓扑基,它决定的拓扑通常称为实数集的左手拓扑,记为Γlef,且Γlef=β6∪{Ф}。

同样的,Γlef⊂ Γ,Γ严格细于Γlef,而Γlef与Γrig是不能比较的,因为Γrig=β5∪{Ф}与Γlef=β6∪{Ф}明显彼此都不能包含对方。

综合以上论述,可以总结出实数集上常见的7个拓扑之间的粗细关系为:

其中ΓlQ与Γu,Γ-K不能比较。

[1] Munkres J R.拓扑学基本教程[M].北京:科学出版社,1987.

[2] 熊金城.点集拓扑讲义[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3] Seymour Lipschutz.Theory and Problemsof General Topology[M].上海:华东师范大学出版社,1982.

The Comparison for Some Common Topologies on Real Numbers R

Li Yanying
(Department of M athematics,Baoji A rt and Science College,Baoji,Shanxi 721013,China)

This paper show s seven classes of sets of real numbers,and proves that these classes of sets are bases for some topologies on real numbers,they determine seven different topologies on real numbers.At the same time,the paper compares with these topologies,and summarizes the coarseror weaker relations between these topologies.

real number set;topology;base for a topology;strict weaker

O189.11

A

1671-2544(2010)03-0041-03

2010-03-31

宝鸡文理学院基金资助项目(ZK0786)

李艳颖(1981— ),女,吉林松原人,宝鸡文理学院数学系讲师,硕士。

(责任编辑:周 游)