几道难倒数学的小学数学题

肖鉴铿

2007年7月,笔者应邀为江西省农村小学骨干教师培训班开专题讲座,有机会比较系统地阅读了由义务教育数学课程标准研制组组编的、经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的、由北京师范大学出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书·数学》1-5五年级中的“统计与概率”内容,发现其中有些题目不仅小学生解答起来十分困难,就连我们这些数学教师也一概会被难倒。我这样说绝非危言耸听,因为这些题从根本上难倒了数学,所以必然令所有数学教师及一切数学研究人员一筹莫展。

现将这几道题目逐一抄录于下,并稍加评析,以求教于广大同仁。

题1.“要调查班里同学的生日在什么季节,说说你想怎样调查。”

接着,教科书以表格的形式告诉学生:“三、四、五月是春季;六、七、八月是夏季;九、十、十一月是秋季;十二、一、二月是冬季。”并要求学生调

查完后,在格子图中涂色。最后要学生回答下列问题:

“(1)哪个季节过生日的同学最多?

(2)夏季和冬季过生日的同学共有几名?

(3)如果今天恰好有一个同学没有来,猜猜他最有可能在哪个季节过生日?

(4)从图中你还能发现什么?”

(见二年级上册第90页九、统计与猜测)

其中第(3)题确实令我百思不得其解。

学生旷课,其原因多种多样:体弱多病者旷课,很可能是本人病卧在床;身体健壮者旷课,可能本人没病,而是家长突发重病,要在家照顾。旷课的原因还有可能是家庭突遭失火、失窃等不幸。自然灾害也有可能导致学生旷课。比方说,突降暴雨,山洪暴发,渡口停渡,或山体滑坡,公路阻塞等,均会影响学生按时到校上课。品德高尚的孩子。一贯遵守纪律,这次突然旷课,有可能是在上学途中学雷锋做好事:或把迷路的小孩送到派出所,交给民警叔叔,或将昏倒在地的老人送到医院抢救,因此耽误了时间。经常违纪的孩子,此番又旷课,就很有可能是躲进哪家网吧去玩游戏了,不舍昼夜,难以自拔……

总之,旷课的原因五花八门,还真是不好猜哩!

现在时兴“开放型”题目,希冀能通过这类题目把孩子们的思想搞活,因而题目的答案不唯一,也不足为奇。可奇怪的是:本题并不要求学生去猜旷课者旷课的原因,而是要大家去猜这名旷课学生“最有可能在哪个季节过生日”?这一问还真把我给问懵了,使我大有“连接断开”的感觉:“旷课”与“生日”,这二者如何搭得上界?

我手头上没有与之配套的“教师用书”,无法明白编者的意图。在万般无奈的情况下,只好也来个猜测:莫非编书的老师是要大家猜这名旷课的同学正躲在家中过生日?否则,人们如何能由旷课这一现象推断出旷课者的生日最有可能在哪个季节?常言说得好:“自古华山一条路”。看来这就是解答本题的唯一思路!

想了老半天才走上了正道,真让人有一种“千里来龙,至此结穴”的感觉。我一方面为自己的愚钝感到惭愧,一方面又为自己具有如此丰富的联想能力而庆幸。不过总体的效果是“我乐不起来了”。与其说自己是“茅塞顿开”,倒不如说是“一头雾水”。我真搞不懂了,现在竟然是用这种办法培养孩子的思维能力?!

众所周知,目前城乡差别依然存在。城里的孩子过生日,多半可能会买个生日蛋糕,了不起晚上再举行个生日家宴。农村的孩子,有的连生日蛋糕都未见过,一碗鸡蛋煮面条就算是生日的美味佳肴了。但无论哪种情形,过生日均不可能导致旷课。我当教师已近半个世纪,像这种因过生日而旷课的事不仅从未见过,而且也从未听过!硬要学生在“旷课”与“生日”这两个风马牛不相及的事物中找出其联系,不觉得太离谱了吗?

教科书不仅是知识的载体,更是师生进行教学活动的主要依据。真希望像这种荒诞不经的题目不要在教科书中出现。

题2.“小熊冷饮店又该进冰糕了,小熊翻开了商店本周前三天卖出冰糕的情况:星期一:8箱,星期二:7箱,星期三:9箱。小熊想:今天我进多少箱冰糕合适呢?你能帮他解决吗?”

(见三年级下册第71页六、统计与可能性)

本题中本周前三天的冰糕销售量是已知条件,但据此如何能确定“今天”(课本中未明确是指星期四,笔者猜测是指星期四)的进货量呢?根据题目条件,可以求出本周前三天销售量的平均数。平均数是“统计概率”中的一个重要的概念,猜测编者的意图,很可能是要考学生对“平均数”的应用。那么,我们是否应当建议小熊“今天”就按这个平均数进8箱冰糕呢?这样做理由充足吗?

从数学的角度看,如果有一个数列,其前三项依次为8,7,9,而且告诉我们:该数列从第四项起,每一项都是前三项的平均数,则第四项为8肯定是正确的。只要再告诉我们:小熊冷饮店本周每日销售的冰糕箱数恰好符合这个数列的规律,那么,“今天”进8箱冰糕就毫无疑义。只可惜题中并无这一条件,所以“今天”进8箱冰糕,理由是不充足的,平均数8充其量只是一个参考数据。

实际上,冰糕作为一种具有防暑降温功效的特殊食品,其销售量主要受制于气候。如果天气预报表明,星期四将是晴热天气,气温比前三天更高,则星期四小熊店冰糕进货箱数不仅应超过前三天的平均数8,而且还理所当然地应超过前三天的极大值9。说不定进11箱、12箱都供不应求。反之,如果天气预报星期四将受台风影响,降雨、降温,则这天的冰糕即使只进3箱、4箱也未必卖得掉。

此外,顾客源也是影响冰糕进货量的重要因素。比方说,小熊冷饮店坐落在某所小学附近,该校学生是其主要的顾客群。又知该校星期四将在离学校较远的市体育场举行田径运动会。那么即使这天天气晴热,小熊冷饮店的冰糕也不宜多进,因为学生们不会中途从体育场跑到小熊店里来消费,他们会在附近的摊点上购买冷饮。

当然,具体问题还要具体分析。倘若小熊能与校方事先商定,运动会期间的冰糕由他的冷饮店供应,他会负责将冰糕送到运动会现场去,则星期四小熊可放量进货。而究竟该进多少,应根据该校参加运动会的人数进行估算。说不定在这种情况下,冰糕进货的箱数远不止前三天的平均数8。

影响小熊冷饮店星期四冰糕进货量的因素还会有许多,但我们就此打住,不再讨论。因为我们毕竟是在讨论数学问题,而不是研究小熊的生意经。如果此题的编排意图,果真是要让学生建议小熊按前三天冰糕销售箱数的平均数,在“今天”进8箱冰糕的话,那无疑是把复杂的问题简单化了。依我看,就数学题而言,本题实际上是一道无解之题。

记得有一则古老的欧洲笑话,说的是有这样一道数学题:“一艘船上载了75头牛,32只羊,问船长多少岁?”当美国人把这道无解之题拿给孩子们做时,居然有许多美国孩子都算出了答案。有答“107岁”的,有答“43岁”的,还有答“53.5岁”的。其中答“43岁”的人最多。只有8%的人答“做不出”。这一测试结果曾让美国人深感忧虑,美国数学家匈菲尔德(A·Sheenfeld)就感叹道:“是不是我们的教育把人越教越蠢了?”

我们今天似乎也面临与美国人同样的问题,只不过我们的形势更加严峻:美国孩子只不过极少一部分人在课外接受了一次一道无解题的测试,而我国孩子却要在课堂上面对这类无解之题。但愿我国数千万乃至上亿的孩子中,有人能够理直气壮地对老师说:“这道题不能做!”并且,持这种见解的孩子的数目不低于总人数8%。

题3.某足球队想引进一个前锋。已知甲、乙、丙三名运动员在最近5个赛季进球数如下表所示,这个足球队该引进哪个运动员?

(见三年级下册第71页六、统计与可能性)

解这道题,首先应观察这三名运动员在最近5个赛季中的表现。由于除甲外,其余两人都未踢满5个赛季,所以不能由进球总数多少来衡量其球技之高低,而应考察他们在每个赛季进球数的平均数。不难算出表中三组数据的平均数分别为21、24、22。这表明甲平均每个赛季进球21个,乙平均每个赛季进球24个,丙平均每个赛季进球22个。从“平均数”这一指标看,乙的表现无疑最佳。由此,我揣测此题的答案就是:这个足球队该引进运动员乙。

然而,在现实生活中,一个足球队引进运动员,是一件十分复杂的事情,仅仅依据题中5个赛季的进球数作决定,是远远不够的。笔者只是一名教师,没有当领导引进人才的经验。但从常理上想,引进一名运动员绝不会只看他的运动技能高低。组织上应对其政治思想、道德人品、性格特点、意志品质、人际关系、团队精神、生活作风、健康状况、文化素养、个人爱好、运动潜力、历来表现等作出全面调查。当数名候选者的条件不相上下时,还应考虑引进所需经费间的差异以及候选者向队里所提条件之高低,甚至还应预测谁与本队的关系最融洽,谁引进后发挥的作用会更大。

总之,引进运动员,即使对于该足球的领队、主教练,乃至上级主管部门的党政领导来说,都绝非一件能轻易办好的事。而现在却把它编进小学三年级的数学教科书,要一些10岁左右的小孩运用数学的知识即席作答,当场搞定,岂不有点滑稽?莫说刚学会计算平均数的十龄童力所难及,依我看,纵然是专攻概率论的资深数学家也无能为力。原因很简单:因为这压根儿就不是一个数学问题!

题4.学校举行乒乓球决赛前,公布了参加决赛的小明、小强两名同学的资料。

(1)你认为本次决赛中,谁获胜的可能性大些?与同学说出你的理由。

(2)如果学校要推选一名选手参加本区乒乓球选拔赛,你认为推荐谁比较合适?(见五年级上册第85页六,可能性大小)

本题之第(1)小题要求学生根据所公布的资料,推断小明与小强在决赛中谁获胜的可能性更大。其实,从资料上看,二人之实力相当,令人很难分出高下,学生必然难以作答。

退一步说,即使二人以往的水平相差悬殊,也不能作为此次决赛胜负的依据。因为以往毕竟只是以往,“士别三日,当刮目相看。”事物总是处于变化与发展之中,未必是强者恒强,弱者恒弱。事实上,影响比赛胜负的因素很多,诸如双方运动员近期的健康状态、体能状态、竞技状态、心理状态等均是。而在对这一系列重要信息一概未予披露的情况下,即要求学生在即将举行的决赛中,预测谁获胜的可能性更大,还要求说出判断的理由,实在是没有道理,只能视之为强人所难和怂恿轻率。

再退一步说,即使题中公布了小明与小强的所有相关信息,决赛的胜负仍然难以预料。赛场上瞬息万变,临场发挥往往最为关键。各种赛事中,弱者战胜强者,新手将种子选手淘汰出局之事屡见不鲜。可见比赛之胜负确实难料。

只要不作弊,相信世界上赌球、赌马、赌牌等一切赌博活动中的顶尖高手,无人敢称自己“稳操胜券”。这是为什么呢?因为任何博弈的结果都是随机事件,而随机事件的本质属性是:一次试验,结果不定;大量试验,方显规律。

本题之第(2)小题,要求学生回答:“如果学校要推选一名选手参加本区的乒乓球选拔赛,你认为推荐谁比较合适?”我认为这个问题根本就不该提,因为推荐谁都不合适。在体育赛事中,最忌讳的就是“推荐”!体育运动崇尚奥林匹克精神:“公平竞争”,“更高、更快、更强。”要分出高下、决出雌雄,最公平、最合理的办法就是光明正大地比赛,任何形式的“推荐”都是与奥林匹克精神背道而驰的。终不成奥运会冠军也要由长官圈定或民选产生?

第(1)小题的预测已与数学规律不符,第(2)小题的推荐更与奥林匹克精神相悖,但愿在修订后的小学数学教科书中,不再出现这类题目。

本文写到这里,我们已经看到,上述题目的确把我们逼到了一个尴尬的境地。从表面上看,它们好像都是些数学的应用问题,小学生们只要用刚刚学到的知识,就能轻松地加以解决。但实际上,它们都是非数学问题,其中一些甚至是相当复杂的、综合性很强的社会问题,它们无法被抽象成数学问题。题中虽然也有一些数据,但这些数据对问题的解决起不到决定性的作用,任何人都无法从数学的角度来解决它们。它们是一类名副其实的难倒数学的小学数学题,于是也就顺势难倒了所有的数学教师和数学工作者。

早在20世纪50年代末,华罗庚先生即在《人民日报》上撰文疾呼:“大哉数学之为有!”指出:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁”,无处没有数学。时至今日,数学之应用越来越广泛,这些都逐渐成为人们的共识。但值得注意的是:“生活中有数学”并不意味着“生活即数学”;“数学无处不在”也不等同于“任何问题都是数学问题”,更不能误认为“数学能解决任何问题”。

笔者衷心地希望,我广大数学教育界同仁,在让孩子感受“数学就在我们身边”以及“生活中处处有数学”的同时,千万莫把数学庸俗化,莫让孩子们误以为只要学了那么一星半点的数学知识,就能君临天下,就能俯瞰世界,就能解释人间的任何现象,就能解决世上的一切问题。世界毕竟没有这么简单,我们也绝不能把我们的孩子教得越来越蠢,绝不能把我们的孩子教成头脑简单的人!