数学研究性学习的理想

梅绍友

在以知识创新为基本特征的知识经济时代，数学教学中必须开展以培养创新能力和实践能力为重点的研究性学习。然而，从数学教学的实际情况来看，仍有不少教育工作者对数学研究性学习的开展认识不太清楚。本文拟对理想中的数学研究性学习谈几点认识。

一、注重探究，让学生在课堂学习中学会研究性学习

数学内容问题化，学习过程探索化，是研究性学习在课堂教学中的最显著的两个特点。教师的任务是为学生创设学习情境，提供问题的探究材料，让学生通过自主学习去发现问题、分析问题和解决问题。下面以《正方形》教学来说明这一问题

1．问题的提出

教学《正方形》时，教师首先将一个菱形的活动框架挂在黑板上，要求学生说出菱形的性质，然后标出菱形一个角α。拉动一对不相邻的顶点，慢慢改变框架的形状(如图1)。

要求学生仔细观察并回答下列问题：随着∠α的变化，框架的形状是否发生变化?当∠α变成直角时，两条对角线的长度有什么关系?框架变成了什么形状?

2．问题的探究

针对问题，教师应尽可能的在启发性问题情境中引导学生通过分析、综合、比较、类推等逻辑思维方法不断经过思考讨论，提出解决问题的可能性设想。针对上述问题，教师课前可要求学生带4条等长的硬纸片，首尾相连，用图钉连接做成活动菱形，然后按上述方法改变形态。通过观察，学生能说出许多不同的答案，教师这时要引导学生将注意力慢慢集中到“正方形”。然后再要求学生取出一矩形纸张，在教师指导下折出如图2所示的图形，剪去右侧小矩形部分后得到一正方形。要求学生以框架和纸张为对象，用直尺和量角器继续观察正方形的特征。

3．问题交流

学生在观察、类比的过程中积极主动地去探索和发现解题规律，教师要引导学生对探究的结果开展相互交流、补充和完善，总结出科学的结论，并通过练习，使结论得到强化和迁移。这里紧接以上《正方形》教学，将学生分成若干小组，小组成员可小声讨论并分工协作，开始折、剪、画、量，小组长负责记录实验过程和讨论结果。学生动手期间教师在黑板上写出以下问题：

(1)正方形的四条边长有什么关系?

(2)正方形的四个内角有什么关

(3)正方形的对角线有什么特点?

(4)正方形与矩形的区别在哪里?

(5)正方形与菱形的区别在哪里?

小组实验和讨论结束后，每个小组都派出中心发言员(轮流担任)讲述本小组的发现。

4．发散创新

在问题交流结束后，要鼓励学生举一反三，一题多解，要充分利用教材上有关内容对相关的知识进行引申与拓展，并让学生应用知识探究一些实际问题，培养学生的数学科学精神及创新与实践能力。

二、注重探索，让学生在实验过程中学会创新

数学是一门科学，含有观察、实验、发现、猜想等实践部分，尝试、假说、度量和分类是数学家常用的技巧。由于教育技术的发展使传统观念上的数学学习已向理论与实验相结合方向迈进，产生了数学实验室的概念，并引发了“做数学”的理念。在数学实验室里，除了传统的数学工具如数学模型、测量工具、计算器以外，还配置了多媒体计算机、网络、数学课件及支持学习的系统软件等教育技术媒体。数学实验室能提供适当的情境，让学生能够学习读数学、写数学、说数学。在数学实验室中进行研究性学习是数学教学改革上的飞跃。

目前，能够提供数学实验的教育软件比较少，但是“几何画板”软件能提供较好的实验环境。“几何画板”是Windows环境下的一个动态的数学工具软件。它提供了画点、画线(线段、射线、直线)、画圆(正圆)的工具，以及旋转、平移、缩放、反射等图形变换功能，可以对图形对象进行求坐标、算距离等测量与计算，研究诸如运动与变换这样的非欧几何问题，能够绘制各种平面图形、动画和运动、立体透视图形，构造动态数学模型和数据图表，并能在几何图形中插入图片与声音等多媒体信息。几何画板又不同于其他绘图工具，能动态的保持给定的几何关系，便于学生自行动手在变化的图形中发现恒定不变的几何规律，从而打破了千百年来数学学习就是一支笔一张纸的局面，成为提倡数学实验，培养学生创新能力的有效工具。例如，在传统的数学教学中，“直角三角形”概念从小学一直讲到中学，通常是教师画直角三角形，学生看，然后记忆其特点。性质也好，判定也好，一概如此。在几何画板上就不是这样了。“什么叫直角三角形?”教师示范后，学生自己画，大的、小的、旋转角度的，各种变式图形都会出现，只是其中必有一个角是直角。动态操作给学生比较、探索和抽象思维创造了一个活动空间和条件。中文版的“立体几何画板”在表现三维几何问题时更有独到之处。

据资料反映，1995年两个美国初中二年级学生David Goldeheirn和Dan Litchfiled应用“几何画板”发现了又一个任意等分线段的方法；我国东北育才学校的学生应用“几何画板”发现了广义蝴蝶定理。这些事例足以说明实验在数学研究性学习中至关重要的作用。

三、注重应用，让学生在实际生活中锻炼能力

我国传统的数学课程比较大的一个缺陷就是学生在学数学时，只知道用数学知识来解决问题，很难想到这个问题与其他学科的知识也有关系。学生思维被学科知识的界限的划分紧紧束缚住。为此，我们应消除学科的隔阂，增强学科的沟通，在学科的综合之处要能让学生发挥创造性思维。

华罗庚有句名言“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不有数学”，研究性学习的一个重要方面就是在实际问题中应用数学，发动学生到实际生活、生产中挖掘数学问题，让学生上网寻找现实生活中的数学背景材料，并提出问题、解决问题。如今成本、利润、投入、产出、储蓄、贷款、增长率、保险、市场预测、分期付款、投资风险、股票和债券已日益成为人们频繁使用的词汇，存款与保险的投资、股票与债券的买与卖等需要你作出决策。例如股票已成为经济生活中重要的一部分，可让学生观察“股市走势图”，大致地了解、估算股市的走向，由图得到信息，并提出有价值的问题，深入展开研究。

我们每天都在报上(或收音机)看(听)到城市的天气预报，要求学生每天做好记录，利用课余时间或专门时间，走访气象部门，以了解一些气温方面的知识及相关数据的统计方法等；走访农民或农业部门，以了解一些诸如气候与农作物播种之间的关系等方面常识，在收集数据，查阅资料等基础上，运用统计方法、图表等数学知识与数学方法及现代化的技术手段，来分析一年中的气温变化情况，气温变化与二十四个节气的关系，气温变化与流行病发作的关系与预防，气温变化对日常生活的影响等。

数学源于生活，寓于生活，用于生活。从数学的角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究，学生们沿着前辈走过的足迹，站在他们的肩上，放眼未知世界，用类似科学研究的方式，主动地获取知识，应用知识和解决问题；学生怀着浓厚的兴趣“在研究中学习研究”。这样去学习，将会妙趣横生，回味无穷。有利于学生在实践中加深理解，增强感受，求得创新。