数形结合思想

黄世芳

【摘要】探讨运用数形结合的思想分析解决问题。

【关键词】数形结合;思想;分析;解题

The few forms combine thought

Huang Shi-fang

【Abstract】Study usage the few forms combine of thought analysis work°out a problem

【Key words】The few forms combine;Thought;Analysis;Solution

1.数形结合是一种数学

一是,把抽象的数(代数式)与直观的“形”(几何图)结合起来,问题容易理解,思路易于掌握;在我们所学的很多代数式中都有显著的几何意义,对它们进行数形结合,往往能突破难点,找到简单的解题技巧。易于数形结合的问题往往集中在:函数的最值,曲线的交点,比较数的大小、角、直线的斜率等方面。数与形的结合,相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述结合起来,从而使几何问题代数化,代数问题几何化;使抽象思维和数形结合起来,减少大量的计算过程。

2.数形结合在近几年的全国高考试题中占有非常重要的地位,所以我们必须注意数形结合的特点。

数与形是一对矛盾,可以相互转化,主要有三个途径:一是通过坐标系统的建立(或数轴)例如:y=|x+3|+|x-4|的最值,|x+3|+|x-4|表示数轴上的点x到-3和4的两点的距离之和,显然最小值为4-(-3)=7故函数f(x)的最小值为7,二是转化,将 @转化位点(x,y)与(1,0)的直线斜率;三是构造,即可构造几何模型,构造函数或构造一个图形,例如:求sin180的值,可以构造一个顶角为36@的等腰三角形,利用相似三角形性质而得出sin180=。

3.例题分析:

1.已知函数f(x)=log2(x+1)且a>b>0 求 的大小关系

解:作函数f(x)=log2(x+1)的图象,由 表示图上的点与原点连线的斜率,所以

点评:这是一道典型的数形结合题, 的几何意义是两点(x,f(x))、(0,0)连线的斜率,利用斜率的大小解题即直观又快捷。

例2.比较0.32,log20.3,20.3这三个数的大小。

解:在同一坐标系中画出函数y=x2,y=log2x,y=2x的图象,如图令x=0.3时显然有log20.3<0.32<20.3。

点评:这是一道考查函数的基本概念,本题利用函数的图象的对应关系,即可判断大小,使问题简单化。

例3.已知 a>0且a≠1,试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。

解:本题的要求是对上述方程中的参数k进行讨论,因此可构造出函数的图象,在运动中加以解决会使解题思路更加简捷明了,根据对数函数的性质有: 设y1=x-ak,y2= ,如图y1是斜率为1截距为-ak的平行线束,y2是等轴双曲线上方的部分,要使y1,y2的图象有交点,须-ak>a或-a<-ak<0即k<-1或0

点评:此题应用了直线与曲线有无交点。即数与形的结合解题,减少了大量的计算,从而使问题很好的解决。

例4.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,则b的取值范围是。

解:由图可知函数f(x)的图象经过点(0,0),(1,0),(2,0),所以f(x)=a(x-2)•x•(x-1)=a(x3-3x2+2x)= ax3-3ax2+2ax即b=-3a,又由图形可知a>0,∴b<0。点评:从图形中捕捉有用的条件,是将形化数的关键。

4.方法总结:

运用数形结合的思想分析解决问题时,要把握三个原则:①是等价性原则,要注意由于图形不能精确刻画数量关系带来的多面效应。②是双向性原则:也就是数与形的互相转化。③是简单性原则,不要为了“数形结合”而数形结合,而取决于有效,简捷和更易达到教学目的。数形结合能解决好数学习题,望我们掌握好,它能帮助我们快捷、准确的解好数学,更能提高我们的思维方式。

收稿日期:2009-05-12

作者地址:青海省门源女中810300