一种曾被忽视的数学方法

张　坚

聪聪被同学们公认是班里数学最棒的人，尽管他在表面上表现得很谦虚，但心里不免还是有些得意，觉得自己在数学知识的应用上有“相当”的水平。也难怪聪聪有这种想法，每次参加学校或市里的数学竞赛他都能取得“相当”好的成绩。课余时间他除了学习小提琴演奏外，剩余的时间大都用在学习数学知识上。

这不，一个周六的早晨，聪聪打完羽毛球回家后，见当教师的爸爸准备去家访，就让爸爸给他出道数学难题，在写完家庭作业后解答。

吃过早饭，聪聪认真地完成了家庭作业后，取过爸爸留下的题卡。只见上面写着：求“135791113151719212325÷523212917151311197531”的商的小数点后前五个数字。

聪聪看罢，心想：这题有什么难度?于是取出计算器，准备借助计算器先求出商。可当他在键盘上按数字时才发现，计算器只能显示出八个数字，连爸爸自己使用的比较高级的计算器最多也只能显示出十个数字。这时他才开始感到题目可真的有些难度了。他又找来几张大纸，心想：我动笔来算出结果。虽然花费了很大气力，可都没能算出结果。这可怎么办?实在无计可施了，只能等爸爸回来再说吧。

中午时分，爸爸结束家访回来了。聪聪不好意思地告诉爸爸，自己没能解答出这道题。爸爸听过他解题经过后说：“解答这类问题既不需要动笔计算，更无法借助计算器的帮助来解答，而是要依据估值的方法与技巧来解答。”

爸爸接着分析说：题目中的被除数和除数都是个21位数，数太大不可能按通常的方法确定小数点后面前五位数字。因此，我们可以考虑省略被除数和除数的尾数，用取近似值的方法来解答。

因为求商的小数点后面前五位的数字，被除数和除数只保留前六位数，省略尾部的15位数。如果我们把两数的商看做A，那么则有：A<

聪聪听完后惊讶地说：“这种方法真是太奇妙了。”爸爸说：“刚才所举的两个例子，就是用的估值解题的两种基本方法。其实估值问题涉及的知识、方法比较多，因而遇到问题不能僵硬地套用方法，具体情况要具体分析，因题而异灵活解答。”

于是。爸爸又拿出一道题同聪聪一起研究起来：

春晖小学少先队员为四川地震灾区某小学的同学们捐赠了一批图书，准备分装成几包邮寄。如果每包装60本，至少要用21个包；如果每包装70本，至少需要用17个包，后来决定采用每包图书的册数与包数相等的方式包装。这批图书有多少册?

爸爸对聪聪讲：根据“如果每包装60本，至少要用21个包”这个条件，由于60*20+1=1201，60*21=1260，可知图书册数应在1201－1260册之间。根据“如果每包装70本，至少需17个包”这个条件，由于70*16+1=1121，70*17=1190，可知图书册数应在1121－1190册之间，由此可以推断图书册数应在1121-1190之间。又根据“每包图书的册数与包数相等”的条件，可以断定图书的册数是一个完全平方数。而在1121-1190之间只有1156是完全平方数(33²=1089，34²=1156，35²=1225)，所以这批图书的册数应是1156本。

看到聪聪听完分析后十分兴奋的样子，爸爸说：“估值思维方法是很有用处的，由于我们采用恰当的方法，就会使许多原本看起来无法解决的问题迎刃而解了。可是过去有些人对它不够重视，因此遇到今天这类问题时，找不到正确的解题思路。”

聪聪听了爸爸的这番话，心里暗暗地说：“今后我可不能忽视估值这种思维方法，通过实践很好地掌握和运用估值的技巧。”

于是，他又缠着爸爸为他设计了几道练习题：

1已知A=12345678910111213+31211110987654321，求A的小数点后前三位数字。

2求“1/3+1/4+1/5+1/6+1/7”的整数部分。

3某小学全体师生参加春游活动，如果租用每辆能坐60人的车15辆还不够，如改租每辆坐70人的车14辆还有空座。最后租用另一种车，使得每辆车乘坐的人数恰好与所租车辆的台数相同。这所小学共有多少名师生参加了春游活动?

通过这件事后，聪聪不再觉得自己有“相当水平”了，深深地感觉数学知识的海洋浩瀚无垠，自己在数学海洋中的游泳才刚刚开始。