从“两点之间，线段最短”谈数学探究课的选材

吕志林

数学探究教学容易形成学生独立学习的倾向，使学习过程不再是一种负担，而是一种精神解放。这种教学方法的有效使用，可促使学生掌握数学发现的方法，形成迁移能力，并最终养成勇于创造的态度。但是探究教学要求教师对所教内容作出较好的加工和组织，否则就难以取得好的效果。不是任何内容都能有效地运用探究教学，应把握好时机，精选出一些富有挑战性，能激发起学生探究兴趣，且可使学生在探究之后能获得成就感的数学材料来组织探究式的课堂教学。要立足教材，并对教材进行剖析和重新组织，用联系、运动、变化的观点去研究各知识点之间的转化，展示给学生一个动态的“知识生长”过程，促进学生认知结构的形成和发展。

探究问题：以“几何公理：两点之间线段最短”为例

探究1如图1所示，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短?如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由。

探究2如图2所示，一圆锥的底面直径为2，母线长为4，一只小蚂蚁从该圆锥底面边缘一点A出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是多少？

探究3如图3所示，在∠MON内有一点P，现要在OM，ON上各取一点A、B，使△PAB的周长最小，请确定点AB的位置。

探究4如图4所示，小明为了测量一高楼EF的高，在距F点20 m的A处放了一个平面镜，小明沿着FA后退到了B点，正好在镜中看到楼顶E点，若AB=1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为1.6 m，请你帮助小明算一算楼房的高度。

如何进行数学探究课的选材

选择能够激发探究兴趣的材料蚂蚁运动路线的设计选择、生活中实际问题等这些学生似乎熟悉但又不清楚、不能立即解决的问题，会使学生产生一种强烈的求知欲望而去积极思考。因此，教师要善于将那些枯燥、抽象的教学内容设计成若干有趣、诱人且易于接受的问题，使学生在对这些问题的积极思维中去品尝学习的乐趣。

选择适宜学生探究的材料第一，探究式教学不等同于真正意义上的科学探究，探究的内容不能过于复杂，探究的时间不能太长，每一次探究中，一般只含一个中心问题，进行一次探究循环过程即可解决的问题。其二，难度方面，数学探究式教学内容要在学生认知水平和思维发展水平之内选取或在学生“最近发展区”中选取，探究内容对知识和能力的要求应与学生的实际情况比较接近。只有那种能激发学生思维处于跳一跳状态的探究内容，才适合学生的发展，才能有利于创造性思维的训练和创新意识的形成。探究目标对学生的要求太低，学生的探究只是头脑中已有知识的简单提取和应用，会使学生觉得乏味或产生骄傲自满的情绪；如果探究目标对学生的要求太高，与学生已有认知结构相差太远，又会使学生觉得茫然甚至导致学生产生自卑心理。因此，数学探究式教学内容的适宜程度对探究式教学能否取得良好成效起着决定性作用。通过以上探究学生已经有了一定的知识经验，但是对此类问题又没有形成系统认知，因此，进行这一探究，非常适合学生的发展。

选择纵向联系较强的材料数学具有极强的逻辑严密性，这一特点决定了数学问题解决有其独特的思维方法，一种数学思想或方法往往会渗透到不同的数学内容中去，这就使这些不同的数学内容之间以这种思想或方法为纽带建立了纵向联系，而在这种纵向联系中体现了数学的美的特征，因而掌握数学思想方法，对数学问题进行探索就具有极大的魅力，而这种纵向联系也需要教师带领学生去进行揭示、探索，因而事先去挖掘这些联系，就成为探究选材的一个视角。以上探究让学生在探究中体会数学的“化归转化思想”，将轴对称等知识用两点之间线段最短的观点来解决。学生的学习变成一种“自由的学习”，既掌握思想而又免于机械记忆之苦，同时也培养了学生独立学习数学的能力，促使学生形成探究意识，最终以发现的方式达到学习目标。

选择具有较强横向联系的材料数学作为工具学科，在中学课程中与其它许多学科具有很大的关联性。这种关联性即我们所说的“横向联系”，深刻挖掘数学内容与相关学科的这种横向联系，选择联系较强的内容，设置探究情境，呈现给学生，就会引起他们极大的探究热情，而且在探究这种材料的同时，对数学的内容、方法也能有较深刻的认识，学生在提高探究能力的同时，还可对相关学科的研究与学习也产生促进作用，有效地避免偏科现象，真正起到数学的工具性学科的作用，但这些材料一般是隐藏在数学材料之中，因而需要教师在教学设计时做认真的挖掘和钻研工作。

“两点之间，线段最短”，看似简单，却与物理学中的光学现象（光线传播时走最短路线、光的反射规律、平面镜成像规律）发生联系。探究4就是基于这一点从光学角度的设计。学生体会到联系，对热情的激发有不可低估的效果。

随着数学教育理论与实践的发展，数学探究教学这一反映现代教育特点的教学方法正倍受重视，也取得了长足的发展，在选材加工方面的要求当然也不止本文所述的这些，还有待于进行更进一步的研究。

（作者单位：山东省微山县张楼乡第一中学）