具有脉冲扰动和非单调功能反应的三种群捕食系统的分析

陈以平,谢君辉

(1.湖北民族学院理学院,湖北恩施 445000;2.湖南师范大学数学系,湖南长沙 410081)

具有脉冲扰动和非单调功能反应的三种群捕食系统的分析

陈以平1,谢君辉2

(1.湖北民族学院理学院,湖北恩施 445000;2.湖南师范大学数学系,湖南长沙 410081)

研究一类具有脉冲效应和非单调功能反应的两个捕食者一个食饵害虫控制系统.通过脉冲微分方程的Floquet理论和小幅扰动方法,证明了当脉冲周期小于某个临界值时,系统存在一个渐近稳定的害虫根除周期解,否则系统是持续生存的.最后,通过数值实例,给出了一简单讨论.

两个捕食者一个食饵模型；脉冲作用；灭绝性；持续生存

1 引言

害虫控制是关系到经济发展的一个非常重要的问题.防治害虫的方法很多,其中综合害虫管理(IPM)是一套害虫治理系统,这个系统考虑到以较低的成本和对环境较小的影响,利用所有适当的方法(包括生物的、化学的策略)尽可能相互配合的方式,将害虫控制在可容忍的水平以下.基于IPM策略,近些年来,国内外不少学者相继提出了一系列模型来讨论害虫管理问题[15].由于害虫的天敌往往不只一种,而研究脉冲投放多个天敌的多种群捕食系统的相关报道很少.本文将考虑一类具固定时刻脉冲和非单调功能反应函数的两个捕食者一个食饵系统,模型形式如下

这里,x(t)表示食饵(害虫)在时刻t的种群密度,yi(t)(i=1,2)分别表示两个捕食者(天敌)在时刻t的种群密度,a10是食饵内禀增长率,a11是食饵的密度制约系数,a20,a30分别是两个捕食者的死亡率,0≤pi＜1(i=1,2,3)为每次喷洒农药而减少的害虫和天敌的比例,ui＞0(i=1,2)是每次投放的天敌数量,T是脉冲效应的周期,n∈Z+,Z+= {1,2,3,…},∆x(t)=x(t+)−x(t),∆yi(t)=yi(t+)−yi(t)(i=1,2),a13,a14,a23,a34,a均为正常数,a1ix(t)/(a+x2(t))(i=3,4)是功能性反应函数.灭绝与持续生存在生态系统的研究上是两个非常重要的概念,本文将研究系统(1)的灭绝与持续生存性.

2 基本引理

3 灭绝与持续生存

下面考虑系统(1.1)的永久持续生存性,先给出其定义.

定义3.1如果存在不依赖于系统初值的常数M≥m＞0和有限时间T0,使得系统(1.1)所有初值为x(0+)＞0,yi(0+)＞0(i=1,2)的解(x(t),y1(t),y2(t)),当t≥T0时,都有m≤x(t)≤M,m≤yi(t)≤M(i=1,2),则称系统(1.1)是一致持续生存的.

4 讨论

本文基于害虫管理的生物控制和化学控制策略,提出并研究了一类具有脉冲效应和非单调功能反应的两个捕食者一个食饵系统.证明了当脉冲周期小于某个临界值时,系统存在一个局部渐近稳定的害虫根除周期解,否则系统是持续生存的.下面通过数值实例验证上述结果的正确性.例:取系统(1.1)中的参数值为a10=0.9,a20=0.7,a30=0.8,p1=0.2, p2=0.05,p3=0.05,u1=0.2,u2=0.2,a=0.1,a13=0.9,a23=0.9,a14=0.8,a34=0.7, a11=0.8,x(0)=0.5,y1(0)=y2(0)=0.1,由定理3.1及定理3.2中的条件,直接计算得临界阀值Tmax≈5.322 2.若取T=5.25,数值模拟结果表明食饵种群x(t)趋于灭绝,捕食者种群y1(t),y2(t)周期振荡(见图1)；若取T=5.4,数值模拟结果表明食饵种群x(t)和捕食者种群y1(t),y2(t)共存于一个T-周期轨道上(见图2).

图1 当T=5.25时,各种群的时间序列图

图2 当T=5.4时的相图

另外,如果只采取化学控制,即ui=0,i=1,2,其它参数不变,则Tmax≈0.247 9,这表明要喷洒更多的杀虫剂,才能使害虫根除;如果只采取生物控制,即pi=0,i=1,2,3,其它参数不变,Tmax≈5.0794,这表明要释放更多的天敌,才能使害虫根除.因此,考虑到杀虫剂对环境的污染,害虫的抗药性以及天敌的数量、释放天敌的成本等因素,综合害虫管理是最有效的.

[1]Liu B,Zhang Y J,Chen L S.The dynam ical behaviors of a Lotka-Volterra predator-p rey model concerning integrated pestm anagem ent[J].Nonlinear Analysis:RealWorld App l.,2005,6:227-243.

[2]Liu X N,Chen L S.Com p lex dynam ics of Holling type IILotka-Volterra predator-prey system with im pulsive perturbations on the p redator[J].Chaos Solitons and Fractals,2003,16:311-320.

[3]张树文,陈兰荪.具有脉冲效应和综合害虫控制的捕食系统[J].系统科学与数学,2005,25(3):264-275.

[4]W ickw ire K.Mathem aticalmodels for the controlof pests and infectious diseases:a survey[J].Theor.Popul. Biol.,1977,8:182-238.

[5]任庆军,窦霁虹.具有非单调功能反应和脉冲扰动的捕食系统的分析[J].纯粹数学与应用数学,2006,22(4):444-448.

[6]Bainov D D,Simeonov P S.Im pu lsive Differential Equations:Periodic Solutions and App lications[M].New York:John W iley and Sons,1993.

[7]Lakshm ikantham V,Bainov D D,Simeonov P S.Theory of Im pulsive Differential Equations[M].Singapore: World Scientific,1989.

A nalysis of a three-species predator-p rey system with im pulsive pertu rbations and non-monotonic functional response

CHEN Yi-ping1,XIE Jun-hui2

(1.School of Science,Hubei Institute for Nationalities,Enshi 445000,China; 2.Department of Mathematics,Hunan Normal University,Changsha 410081,China)

A two-predator one-prey system with im pulsive effect and non-monotone functional response for pest control is p roposed and analyzed.By using the Floquet theory of im pu lsive differential equation and sm all am p litude perturbation skills,it is proved that there exists an asym ptotically stable pest-eradication periodic solution when the im pu lsive period is less than some critical value.O therw ise,the system can be perm anent. Lastly,a brief discussion are given by num erical simu lation.

two-predator one-p rey system,im pulsive effect,extinction,permanence

O175.12

A

1008-5513(2009)02-0332-07

2007-09-04.

湖北省教育厅科研项目(B 20082905),湖北省高等学校优秀中青年团队计划项目(T 200804).

陈以平(1966-),副教授,研究方向：微分方程理论及应用、生物数学.

2000M SC:34D 05,34D 20