理想单子在非标准饱和模型下的若干应用

王茜,陈东立,马春晖

(1.西安建筑科技大学理学院,陕西西安 710055;2.空军工程大学理学院,陕西西安 710051)

理想单子在非标准饱和模型下的若干应用

王茜1,2,陈东立1,马春晖1

(1.西安建筑科技大学理学院,陕西西安 710055;2.空军工程大学理学院,陕西西安 710051)

通过利用非标准分析中的饱和模型,对其中的理想进行了讨论,从而得到了理想的非标准特征,并进一步利用这一特征证明了单子论中的一些相关定理.

理想；理想单子；饱和模型

1 引言

非标准分析,是利用数理逻辑的方法来探讨和刻画微积分的理论基础,为数学开辟了新的研究领域;是使用非标准模型研究各种数学问题的新的数学理论.它利用现代数理逻辑的概念和方法证明了实数结构R可以扩张[1]为包含无穷小与无穷大数的超结构∗R[2],在严格的数学基础上恢复了莱布尼茨的作为“更合于发明家的艺术”的无穷小方法.这个方法无论在刻画概念,证明定理,思考问题等方面都显示出优越性.用无穷小方法,可使许多概念的刻画显得直观,简明,可使定理的论证缩短.它使莱布尼茨的无穷小问题得到了圆满的解决.在分析的标准模型中,或者说在实数域上展开的分析学称为标准分析;把实数域及其上的关系的扩大成为分析的非标准模型.本文所要讨论的是用非标准分析的方法给出理想单子概念,并讨论它在非标准饱和模型下的若干应用,从而为理想单子的研究提供了一条新路径.既推动了非标准分析在不同应用领域的发展,又给测度论赋有了更加内在的探索意义.

2 预备知识

设X是无限集,X包含在非标准全域V(S)的个体集S中,V(∗S)是S的非标准模型,于是有∗X是X的扩张,X⊂∗X[3].

定义1[4]设Γ⊆P(X),如果Γ满足:

2)若A∈Γ,B⊂A,则B∈Γ;

3)若A∈Γ,B∈Γ,则A∪B∈Γ,

则称Γ是X上的理想.

定义2设Γ是X上的理想,称ν(Γ)=∪{∗G:G∈Γ}为Γ的单子.

定义3若DA={I:I⊂X且A⊃∗I},则称νd(A)为Γ的离散单子,其中νd(A)= ν(DA).

定义4[1]设r是V(∗S)上的一个内二元关系,A⊆dom(r),若对于任意的x1,x2,…,xn∈dom(r),均存在某个内二元y∈V(∗S),使得〈xi,y〉∈r,(i=1,2,…,n),则称r是A中的一个共点关系.

定义5[5]设κ为无限基数,若对V(∗S)中的每个内二元关系r,当r满足card(A)＜κ 时(A⊆dom(r)),均存在内元b∈V(∗S),使得对于任意的a∈A,满足〈a,b〉∈r,则称V(∗S) 为κ饱和的.

3 上下溢原理

上、下溢原理是非标准模型中一个常用的技巧性重要工具,在非标准分析的许多问题中都会用到它,如著名的LOEB测度空间的构造.本文在非标准的饱和模型中用理想单子来刻画它.

定理1设X是无限集,∗X是X的扩张.则以下命题等价:

(1)对X上的任意理想Γ,∗X的所有内子集A,若对任意的I∈Γ,∗I∪A/=∗X,则ν(Γ)∪A/=∗X.

(2)对X上的任意的理想Γ,若Λ是∗Γ的一个内子集,Γ=◦Λ,则存在E∈Λ使E⊇ν(Γ).

(3)对X上的任意理想Γ,若Λ是∗Γ的一个内子集,E∈∗Γ且E⊇ν(Γ)有E∈Λ,则存在一个I∈Γ使得∗I∈Λ.

定理1中条件(1)在非标准扩大模型中未必成立,但在非标准饱和模型中结论显然是成立的,从而在非标准饱和模型中结论(2)和(3)也成立.(2)和(3)则充分体现了上下溢原理的本质内涵.

下面利用定理1给出理想的离散单子在饱和模型中的一些应用.

理想的离散单子是理想单子的特殊情形.首先DA是一个理想单子,而由其表达式DA= {I:I⊂X且A⊃∗I}及νd(A)=ν(DA)可知理想的离散单子就是理想单子的特殊情形.由于它的特殊性,我们就进一步的给出其更具体的应用.

定理2设X是无限集,∗X是X的扩张.∗X为κ饱和,κ＞card(X).

[1]陈东立,马春晖,史艳维.扩大模型的充要条件及其应用[J].西安建筑科技大学学报,2004,36(2):243-245.

[2]潘红霞,陈东立,史艳维.饱和模型的充要条件及其应用[J].纯粹数学与应用数学,2006,22(1):131-133.

[3]陈东立,马春晖,史艳维.拓扑的非标准定[J].西北大学学报:自然科学版,2006,36(3):348-350.

[4]史艳维,陈东立,马春晖.理想收敛理论的非标准刻画[J].西安建筑科技大学学报,2005,37(2):294-296.

[5]Luxemburg W A J.A General Theory of M onads[M].New York:W iley,1969.

The idealm onad under the app lication of nonstandard model saturation

WANG Qian1,2,CHEN Dong-li1,MA Chun-hui1

(1.School of Science,Xi’an A rchitecture and Technology University,Xi’an 710055,China; 2.College of Science,A ir Force Engineering University,X i’an 710051,China)

In this paper,the ideal in exspend model using non-standardized expand model is discussed giving the non-standard characteristics of ideal.Furthermore,it is to prove some related theorems in monad.

ideal,idealmonad,saturation

O141.41

A

1008-5513(2009)02-0258-03

2007-11-05.

陕西省自然科学基金(2007A 12),西安建筑科技大学基础研究基金(JC 0620),西安建筑科技大学青年科技基金(QN 0736).

王茜(1983-),硕士,研究方向:非标准分析.

2000M SC:03H 05