浅谈初中数学中的分类讨论思想

陈宗银

分类讨论是人们常用的重要思想方法，无论是在生产活动、科学实验中，还是在日常的生活中，都常常需要用到它。这里我们重点研究初中数学中的分类讨论思想。

1. 分类讨论思想的意义

有关初中数学中分类讨论的原因本文归纳了以下几个方面：由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论；由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论；由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论；由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论。

2. 分类的四大原则

2.1 同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。

2.2 互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。

2.3 相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。

2.4 层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。

3. 分类讨论的步骤

用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：

3.1 先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围。

3.2 正确选择分类的标准，进行合理分类。

3.3 逐类讨论解决。

3.4 归纳并作出结论。

4. 归纳需要分类讨论的几种常见例子

掌握用分类讨论思想解题的关键，在于搞清楚哪些情况下会引起分类讨论。下面就引起分类讨论的一些常见情况作一归纳：

4.1 由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论。 有些数学概念是分类定义的（如实数的绝对值），所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。有些数学概念在下定义时已经对所考虑的对象的范围作了限制（如二次方程，求二次项系数不为零），当解题过程的变换需要突破这些限制时，就必须分类讨论。 例如：解方程|4x-4|-|2x+2|=14

解 ： 当x≥1时, 原方程化为 (4x-4)-(2x+2)=14, x=10

当-1≤x≤1时，原方程化为4 - 4x-2x-2=14，x=-2, 应舍去.

当x≤-1时，原方程化为4-4x+2x+2=14, x=-4

∴x=10或-4

说明: 若在x的某个范围内求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解“应舍去”. 绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要讲清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。4.2 由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论。 例如：解不等式 (a+1)x＞a²-1

如果不加区分a+1＞0或a+1＜0，得x＞a -1，那就不对了，因为既可以a+1＞0，或a+1=0，也可以a+1＜0。不同的情况下a+1＞0有不同的答案。

当a+1＞0 即a＞-1时，则x＞(a²-1) / (a+1)= a -1

当a+1=0即a= -1时，原不等式为0•x＞0，故不等式无解

当a+1＜0 即a＜-1时，则x＜(a²-1) / (a+1)=a-1

这里将a划分成三类：a＞-1，a = -1，a＜-1

4.3 由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。

例如：

已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=k/x (k≠0)

4.3.1 k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标平面中的图象有两个交点？。

4.3.2 设(1) 中的两个交点为M、N，试比较∠MON与90°的大小。

本题第(1)小题求得k<16且k≠0；在解第(2) 小题时，由于090°。

4.4 由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论。

例如：已知半径为a的两圆外切，半径为2a且和这两圆都相切的圆共有 个。

此题很容易漏解，原因是缺乏分类思想，因此在解题时要考虑各种可能的情况。和这两个圆同时相切的圆可分为以下三类：同时外切（有两个）；同时内切（有1个）；以及一个内切一个外切（有两个）。故共有满足条件的圆5个。 5. 如何避免分类讨论

例如：如图4，在RtΔABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且a、b是方程x²-10x+18=0的两个根，P是斜边AB上的一点，过P作BC、AC的平行线，分别交AC、BC于D、E，设AP=x，矩形CDPE的面积为S，用含x的代数式表示S。

简解 ：由题意得a+b=10，ab=18，∴a²+b²+2ab=100，

又∵a²+b²=c²，可解得c=8，即AB=8，

又由题意DP/BC=AP/AB， PE/AC=PB/AB，

即DP/a=x/8， PE/b=(8-x)/8，

∴S=(8abx-abx²)/64=(-9/32)x² +(9/4)x。

很多学生根据方程x²-10x+18=0求出了a、b的长，再对a、b作分类讨论，从而给解题带来了相当大的麻烦，结果反而弄错了，像这种可以整体处理的问题，不必作讨论。

数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

参考文献

［1］ 刁卫东：如何运用分类讨论思想解题。《中学数学》,1997.5

［2］ 王燕春：学会分类方法，提高分类意识。《中学生数学》,1998.5。

［3］ 彭林、刁卫东：中考数学命题热点与规律探折。《中小学数学》,2001专刊

收稿日期：2009-04-20