电势差与电场强度关系的三个推论

屈惠锋

在新人教版《电势差与电场强度的关系》一课教学中，教材中的结论是：在匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于场强与这两点的距离的乘积。本文利用教材中的推理过程探讨以下三个实用的结论。

推论1 在匀强电场中，不与场强方向垂直的任意一条直线上，各点间的电势差之比等于对应各点间的线段长度之比。

证明 图1表示一匀强电场中的一组电场线，A、B、C为不与场强垂直的一直线上的三点，设直线与电场线的夹角为θ，场强为E，把正电荷q由电场的A点依次移到B、C两点，由做功的定义式得：

W〢B=qE〢B猚osθ，W〣C=qE〣C猚osθ；①

在电场中，电场力做功：

W〢B=qU〢B，W〣C=qU〣C；②

由①②式得：

U〢B猆〣C=〢B〣C。

如果我们总结了推论1，对于处理匀强电场中的电势差问题和寻找等势点问题就有据可寻，求解电势高低、大小就方便多了。

例1 如图2，方框内有一匀强电场，A、B、C为该电场中的三点，已知φ瑼=12V，φ瑽=6V，φ瑿=-6V，试在该方框中做出该电场线的示意图（即画出几条电场线），并要求保留作图时所用的辅助线(用虚线表示)。若将一个电子从A点移到B点，电场力做多少电子伏的功?

解析 本题依据推论1从任意两点的连线上找到第三个点的等势点，连接即可得到等势线，电场线和等势线垂直。

如图3连接AC，

U〢C=φ瑼-φ瑿=12-（-6）V=18V；

U〢D=φ瑼-φ璂=13U〢C，φ璂=6V。

故得φ璂=φ瑽=6V，连接BD得一条等势线，再做垂直BD的一组平行线，由沿电场线方向的电势降低可确定场强的方向。

将电子从A移到B，电场力做功为：

W=-eU〢B=-e(12-6)V=-6eV。

例2(2008年•海南物理第6题) 匀强电场中有a、b、c三点。在以它们为顶点的三角形中，∠a=30°，∠c=90°，电场方向与三角形所在平面平行。已知a、b和c点的电势分别为（2-3）V、（2+3）V和2V，该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为（ ）

A.(2-3)V、(2+3)V；

B.0V、4V；

C.(2-433)V、(2+433)V；

D.0V、3V。

解析 由推论1得，如图5，ab的中点d电势为2V，连接cd即得为一条等势线，做cd的垂线ef交圆上e、f两点，沿电场线方向电势降落最快，即e点电势最低，f点电势最高，由：

E=Uヾb猂cos30°=2R，Uヾe=ER=2V；

又Uヾe=ψ璬-ψ璭得：ψ璭-Uヾe=0。

同理：ψ璮=ψ璬+Uゝd=4V；

选B。

推论2 在匀强电场中，不与场强垂直的任意两条平行线段的端点电势差之比等于线段长度之比。

证明同推论1，如图6，设两线段与场强方向的夹角为α，将q分别从A移到B，C移到D的过程中，电场力做功有：

W〢B=qE〢B猚osα，W〤D=qE〤D猚osα；①

W〢B=qU〢B，W〣C=qU〤D；②

联立①②式得：U〢B猆〤D=〢B〤D。

理解掌握了推论2，若两平行线长度相等即得两线段端点的电势差相等。则07年的全国理综Ⅰ卷的第20题和1999年全国高考题就很快得解。

例3（2007年•全国Ⅰ） a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在平面平行。已知a点的电势为20V，b点的电势为24V，d点的电势为4V，如图7所示。由此可知c点电势为（ ）。

A.4V B.8V

C.12VD.24V

解析 由推论2得：

U゛d猆゜c=゛d゜c=1，即U゛d=U゜c；

φ璦-φ璬=φ璪-φ璫；

φ璫=φ璬+φ璪-φ璦=4+24-20V=8V；

因此，选B。

例4 如图8所示的A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个正六边形的六个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为1V、6V、9V，则D、E、F三点的电势分别是多少？

解析 由推论2得：因为AB∥FC∥ED，且AB∶ED∶FC=1∶1∶2，

则有2U〢B=U〧C=φ璅-φ瑿，得：

φ璅=2U〢B+φ瑿=-1V；

同理：

U〣C=U〧E=φ璅-φ璄，φ璄=U〣C+φ璅=2V；

U〢B=U〦D，φ璂=（5+2）V=7V。

推论3 在匀强电场中，不与场强垂直的两条线段端点电势差之比等于线段沿电场线方向投影长度之比。

证明：如图9，线段AB、CD分别与电场线相交，且AB与电场线的夹角为α，CD与电场线的夹角为β，设场强为E，将电荷q从A点移到B，从C移到D，那么：

qE〢B猚osα=qU〢B，qE〤D猚osβ=qU〤D；

则，两式相比得：

U〢B猆〤D=〢B猚osα〤D猚osβ=〦B〤F。

结论得证。

例5 如图10所示，是匀强电场中的一组等势面。若A、B、C、D相邻两点间的距离都是2cm，则电场的场强为____V/m。到A点距离为1.5cm的P点电势为____。

解析 由推论3可得：

E=U〣A猟=U〣A狝Bsin60°=33×103V/m；

U〢B猆㏄B=〢B猻in60°㏄B猻in60°=〢B㏄B=4；

代入数据得：

U㏄B=-10×14=-2.5V。

以上三个推论，都是受教材启发而得到的实用结论，对解决匀强电场中的电势差、电势、电场力做功、电势能高低的判断等方面比较容易、简捷。从近几年的高考来看，电势差和场强的关系仍是高考的一个热点，如2008年海南物理第6题、2007年全国Ⅰ第20题、2007年北京理综第22题、2007年广东物理第3题、2004年上海第6题等，命题者在编制题目时往往会设置新情景结合几何图线或图形考查，其难度属于中等偏易，若能理解并应用教材中的推理过程，总结规律，将大大的提高我们的解题速度。

(栏目编辑邓 磊)