亚式期权定价研究综述

赖 欣 冯勤超

摘要：对亚式期权定价的文献进行分类整理，并就其中一些文献的观点进行分析评论。亚式期权是场外交易中几种最受欢迎的新型期权之一，但它的价格却没有解析表达式，到目前为止，亚式期权的定价仍是个公开问题。在尝试了大量研究之后，发现在很早之前提出来的Monte Carlo模拟法定价是算术平均亚式期权的较好近似。

关键词：亚式期权；定价方法；文献综述

中图分类号：F830文献标识码：A文章编号：1672-3198(2009)24-0170-02

1引言

亚式期权(Asian options)作为新型期权中的一种，也称为平均期权，它实质上是欧式期权的一种创新。它与欧式期权的相同点在于它们都是只允许其投资者在到期日当天执行期权合同，不同点在于欧式期权是根据到期日当天的股价的高低来决定是否执行期权合同，而亚式期权是根据合同期内的股价的平均价格的高低来决定是否执行期权合同。由于欧式期权到期日的价值与路径无关，只依赖于到期日的股价，因此很难防止有人操纵到期日的价格进而从中套利，而亚式期权却是与路径相关的，使用它可以缓解投机行为。而且，与标准期权相比，亚式期权还有价格更便宜、可以用来对冲在指定时期内的风险的优点。

亚式期权是场外交易中几种最受欢迎的新型期权之一，但它的价格却没有解析表达式，到目前为止，亚式期权的定价仍是个公开问题。假定标的资产价格s服从对数正态分布，因为一系列对数正态分布变量的几何平均仍服从对数正态分布。而相应算术平均没有可以解析处理的特性，故算术平均亚式期权比几何平均亚式期权的定价要困难得多。对几何平均亚式期权，我们已得到它的定价的(显式)解析解，但算术平均亚式期权很可能不存在这种(显式)解析解。然而，实际中常见的是算术平均亚式期权，几何平均亚式期权相对较少。因此，算术平均亚式期权的定价问题引起许多数理金融学家的注意，已有不少的近似解，但至今没有解析解，因而探寻其合理的价值估计方法成为期权理论的一个具有重要学术价值的题目。

2亚式期权定价

尽管亚式期权已经在实务界得到广泛应用，其准确的定价公式仍没有从理论上得到较好解决。对于亚式期权的估价问题，关键是如何确定股价平均价格A(T)的概率分布，这是得到解析定价公式的主要难点。许多学者从不同角度讨论了亚式期权的定价思路。

2.1国外研究

Kemna＆Vorst(1990)通过改变波动率和敲定价格提出了一个几何平均期权的定价解析公式。几何平均期权可以用一个明确的解析式来计算，因为如果价格服从对数正态分布，那么价格的几何平均值也服从对数正态分布。因此，几何平均亚式买入和卖出期权的价值就可以得出，而算术平均期权则不可以。

Turnbull＆Wakeman(TW)(1991)提出了一种近似计算方法，尽管亚式期权的分布是未知的，但是算术平均价格概率分布的前两阶距是可以求得出来的，他们是基于算术平均的一种近似对数正态分布，为了定价期权而提出平均值的二阶矩近似法。

Edmond Levy(1992)则是在此基础上，找到了一个更适合前两阶距的对数正态分布，就是用几何布朗运动s(t)来近似代替A(T)，这样就将亚式期权的定价转化为常规欧式期权的定价了，从而计算的算术平均价格近似值比TW的近似值更精确。Curran在同年提出了一种基于几何调节方法的近似算术亚式期权方法。这个模型着眼于我们所学的几何分布以及标的资产价格在特定点的值。通过对每个时间点上的数取自然对数，我们就可以得到在几何分布下的标的资产价格，最后求积分计算。

Hull＆White(1993)在二叉树的模型上增加一个结点，然后运用线性内插法来计算每个结点的近似平均值，最后通过后向折现计算出期权价格。但是。这种方法不能保证收敛性。

Rogers&Shi(1995)提出了用有限差分法来解亚式期权问题，他们根据比例缩放的性质，将平均亚式期权价格计算简化为解一个二元抛物线偏微分方程。但是这种方法在于适用于较低的波动率和较短的到期时间。Chalasani，Jha＆Varikooty(1997)在Rogers＆Shi模型的基础上修改了用来估计期权条件期望的随机变量z，得出了亚式期权精确解的下界。Chalasani，Jha＆Varikooty(1998)使用三叉树法计算了离散的亚式期权，而Thompson(2000)改进了此方法，使之更精确。

Andreasen(1998)对Rogers&Shi的模型进行了扩展，通过改变基准在数字上解决亚式期权的定价问题。在用有限差分法来解亚式期权问题上，Tavella和Randall(2000)也做了相关方面的研究。

Zhang(2001)给出了具有固定敲定价格的算术平均亚式期权的半显示解，并得到了较好的数值结果，但此方法没有充分利用解在部分区域中有解表达式的特征。

2.2国内研究

而在国内。胡日东在《关于亚式股票期权及其定价方法的研究》中首先提出了奇异期权问题，并且计算出亚式期权的近似计算公式，由于亚式期权的算术平均价格不再服从对数正态分布，因此难以找到A(T)密度函数，于是胡日东将几何布朗运动s(T)来近似代替A(T)，再找出亚式买人期权的近似值C(T；S，K)。此方法要根据亚式买人期权价格的近似值是否超出理论边界来判断近似计算公式的合理性。此方法运用的是解析法。

1999年，许端和蔡金绪在《亚式期权估价的最新进展》中提出了利用对数正态分布近似估计算术平均资产价格期权的价值。他是用对数正态分布作为资产价格算术平均值的近似概率分布，来获得此类期权的近似价格。具体思路是。假设A服从某种对数正态分布，通过随机变量的矩确定所需要的参数。然后利用关于常规期权的Black-Scholes定价公式得到亚式期权的近似估价。该方法得到的近似期权估价公式的取值范围没有超出期权价值的理论边界。然后，他们利用Johnson分布近似估计算术平均资产价格期权的价值。

关于金融衍生证券定价的Monte Carlo模拟方法问题。1999年以前中国期刊上尚未看到有关研究成果。

2000年党开宇和吴冲锋分析了Monte Carlo模拟、几何平均近似法、二阶矩近似法、偏微分方程法和条件期望下限法等五种亚式期权的定价方法。他认为，用Monte Carlo模拟得出的结论十分精确，但缺陷是操作麻烦，工作量大，且无法做灵敏度分析，

2004年邵斌和丁娟运用LongstaH和Schwartz最近提出的用Monte Carlo模拟法计算美式期权的方法在GARCH模型中求解美式亚式期权，结果表明和其它数值方法相比，不仅有相当的精确度，而且使用简便并具有更广泛

的实用性，对于GARCH模型中运用格点法难以求解的浮动执行价格的美式亚式期权同样可以得到稳定解。

2005年马俊海和张维将重要性抽样技术处理特殊衍生证券定价问题的能力与控制变量技术、分层抽样技术简单灵活、易于应用的特点有机地结合起来，把分层抽样技术和控制变量技术引入重要性抽样模拟估计的分析框架，提出更为有效的关于期权定价Monte Carlo模拟的综合性方差减少技术I并以基于算术型亚式期权定价为例，进行了实证模拟分析。

2008年孙彦和王子亭研究了亚式期权与交易帐户期权之间的关系。作为交易帐户期权的一种特例，亚式期权的价格可以通过一个简单的一维偏微分方程来求解，通过网格离散形式。对同定敲定价格的算术平均亚式期权进行求解，给出方程的数值解，取得定价解。

同年，罗付岩和贾贞分析了在标的资产价格对数收益服从NIG-Levy，过程的条件下，如何构建和计算等价鞅测度，通过Esscher转换得到Q等价鞅测度，并以此为基础寻找风险中性概率的条件。最后利用这些条件探讨亚式期权的数值定价问题。利用低差异序列中的Halton、Sobol、Faure序列对亚式期权进行了数值定价分析。

由于算术平均亚式期权的路径相关性，始终无法得出其定价的精确解，人们在尝试了大量研究之后，发现在很早之前提出来的Monte Carlo模拟法得出的价格是算术平均亚式期权的较好近似。

3基于Monte Carlo模拟的亚式期权定价

根据现有的金融资产定价理论，除了少数一些简单衍生证券的价格可以得到比较简单的理论计算公式以外，绝大部分期权价格则必须通过数值分析方法来加以确定。因此，数值分析方法就成为解决衍生证券定价问题的十分必要的手段。概括地讲，常用的金融衍生证券定价的数值分析技术可分为三个基本类型：网格分析技术、有限差分技术和Monte Carlo模拟技术。其中，网格分析技术和有限差分技术在维数较低的衍生证券定价应用中得到比较好的应用，但对于基于多标的变量和路径依赖特性的高维衍生证券定价应用时，由于计算工作量的迅速增加使得实现起来十分困难，有时甚至是不可能的。此即所谓的“维数灾难”。而Monte Carlo模拟由于具有比较灵活且易于实现、估计误差及收敛速度与解决问题的维数独立等两个明显优势，从而能够较好地解决基于多标的变量的高维衍生证券的定价问题。所以，随着高维衍生证券发展越来越快。交易规模迅速增加，应用日趋广泛，网格分析技术和有限差分技术应用将会受到越来越大的限制，Monte Carlo模拟必将在金融衍生证券定价中发挥更为重要的作用。

Monte Carlo模拟方法在亚式期权定价中应用的基本思想是：假设标的资产的价格的分布两数已知，将期权的有效期分成若干个小的时间段，利用计算机，从样本中随机抽样来模拟每个时刻股票价格，从而得到股票价格的-二个可能路径，进而可求得期权在到期，日的价值。这一结果可看成是到期日期权的价值一个随机样本。不同的路径得到不同的样本，最后对所有的样本求算术平均，就可得到到期日期权的价值，再根据无套利原理，将该值折现到当前时刻，即可得期权当前的价格。

但Monte Carlo模拟在应用方面也存在着明显的不足。对相当一部分金融衍生证券的定价问题，仍然不能得到理想的结果。首先，收敛速度比较慢，对一些复杂的衍生证券。要想达到较好的估计精度，就需要进行很多的模拟次数，否则将产生较大的估计误差，其次，由于方法本身所具有的前向模拟特点，使其对具有后向迭代搜索特征的美式衍生工具的价格估计存在着一定的困难。近些年来，人们针对Monte Carlo模拟方法这些不足。提出了许多有效的改进技术。大大扩展了该方法的应用范围和估计效果。

4总结

亚式期权是与路径相关的，这样它通常比标准化的欧式期权要便宜，且使用它可以缓解投机行为。因此它在某些情况下是较好的投资和风险控制工具。在许多情况下，在市场上寻求套期保值的公司往往需要为他们在未来一段时间内连续平稳的可预测现金流进行保值，这时持有一个合适的亚式期权可以对冲平均价格的风险，因此，亚式期权是进行金融风险管理的有力工具。

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对于几何平均亚式期权，我们能得到精确的解析解，但是，对于算术平均亚式期权，人们采用了各种方法，但是仍然无法得到解析的定价公式。对标的算术平均亚式期权更多的是以标的几何平均亚式期权来近似逼近(常见的如二阶矩近似法、控制变量法、相似变量代换法)或采用数值方法。

本文对亚式期权定价的研究理论进行综述，并提出用Monte Carlo模拟对算术平均亚式期权进行定价，对学术界进一些步研究亚式期权定价问题起到一定的参考作用。