高考中应用题的新方向

张艳敏

(河北 唐山 迁西县第二中学064300)

在新课标实施后，高考中在考查能力和素质上越来越突出。尤其在应用题的考查上比以往更灵活多变。以往在应用题的考查上只是与二次函数、均值不等式、数列等的一些简单结合。而现在结合点越来越多，如：一，利用导数求解最值型的应用题；二，利用线性规划求解最值型的应用题；三，与数列有关的应用题；四，与概率、期望、方差相结合的应用题等。

题型一 利用导数求解最值型的应用题。

例1．（06福建）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为： 。已知甲、乙两地相距100米。

（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（Ⅱ）当汽车以多少速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油最少？最少为多少升？

分析：本小题主要考查函数、导数及应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决问题的能力。

解：（Ⅰ）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 =2.5小时，

要耗油 （升）

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升。

（Ⅱ）当速度x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为h（x）升，依题意得

）

令 =0，得x=80，

当x （0，80）时， 〈0，h（x）是减函数；当x（80，120）时， 〉0，h（x）是增函数。所以当x=80时，h（x）取得极小值h（80）=11.25。

因为h（x）在 上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油最少，最少为11.25升。

【探究】函数在实际中的应用主要体现在通过建模求最值上，主要考查函数的单调性、导数等知识。特别是新教材引入以来，对导数的考查有所加强。一般考查通过求导数判断单调性与最值函数的应用。有时侯也体现在方程的解等问题中，要注意函数与方程关系的互相转化。

题型二 利用线性规划求最值型的应用题。

例二（07山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，总收益为 元，由题意得

目标函数为 ．

二元一次不等式组等价于

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．

如图：

作直线 ，

即 ．

平移直线 ，从图中可知，当直线 过 点时，目标函数取得最大值．

联立 解得 ．

点 的坐标为 ．

（元）

【探究】把实际问题转化成线性规划问题，包括两方面：第一个是建模，建模是解决线性规划问题的极为重要的环节，解决这个问题的关键是根据问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，并从数学角度有条理的表述出来；第二寻找整点最优解的问题，求整点最优解有两种解法：平移法和调整优值法。

题型三 与数列有关的应用题。

例三。（05上海）假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,

其中a1=250,d=50,则Sn=250n+ =25n2+225n,

令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.

到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.

(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,

其中b1=400,q=1.08,则bn=400•(1.08)n-1•0.85.

由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)•50>400•(1.08)n-1•0.85.

由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%

【探究】有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等问题，都需利用数列知识建立数学模型。

题型四 与概率、期望、方差等相结合的应用题。

例四（07全国Ⅰ）某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期为ζ的分布列为

商场经销一件该商品，采用1期付款，基利润为200元；分2期或3期付款，基利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.

(Ⅰ)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1件位采用1期付款的概率P(A)；

(Ⅱ)求η的分布列及期Eη.

解：

（Ⅰ）由A表示事件：“购买该商品的3位顾客中至少有一位采用1期付款”，

知 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

E =200 0.4+250 0.4+300 0.2

=240（元）

【探究】高考在选修部分的命题中，努力体现文理内容上的不同和要求水平上的不同文科试卷集中在抽样方法，总体分布的估计，总体的期望值和方差；理科试卷则集中在离散型随即变量的分布列、期望和方差上。处理有关离散型随即变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随即变量，迅速准确的运算出概率，求出期望和方差。

收稿日期：2009-03-28