数学美浅探

汤平洋

摘要：“乐学”教育与美育紧密相连，课程美育呼唤数学美的出现。本文对此进行了探讨，认为数学美是科学美的一部分，它有“创造”“真”“善”的内容，有美的形式，有审美主体“张力形式”和“同形同构”的审美特点。这一观点打开了数学课程美的奥秘之门。

关键词：科学美；数学美；内容；形式；审美

在国家基础教育课程改革中，人们关注以“乐学”为主旨的人性化教育，越来越注重把美育渗透在各科教学中。这既能激发学生对课程的兴趣，提高教学效果，也使学生受到课程美的滋养，有益于形成美的人格。因此对课程美的探索、对课程美育的探索就成为了人性化教育中的一大热点。数学是一门极具抽象性的课程，它离传统意义上的“美”距离较远，因此数学美育的理论和实践的研究显得十分重要。

一、数学美的概念

数学美是“科学美”在数学领域中的表现。传统的美学观念认为：“美是自由创造的形象体现”“美是一种情感上的有感染力的形象”（杨辛、甘露，《美学原理新篇》）。以此“美的定义”来观照数学课程，我们会发现：数学是一门高度抽象的科学，它不具有形象性，也不具备情感性，而表现出严正的以理服人的客观性，因而远离“美”的范畴。但是现代美学研究纠正了这种看法。2003年结题的国家基金项目成果《科学与艺术的审美创造》介绍——《自然科学的审美创造研究简介》（以下简称《简介》）提出了“科学美”“数学美”的概念。

《简介》指出“传统的关于美的定义大多是艺术美的定义，甚或是在不认可存在科学美的观念下作出的美的定义。该成果在充分论述了科学有美和可以进行科学审美创造的基础上，给出了一个关于科学和艺术美的统一定义：美是实在动心的有意义的张力形式。其中，‘实在动心指出了美产生的基础是实在客体和感美主体契合的统一。‘意义包括‘意味和‘真义两个方面，在艺术里是指其‘意味，在科学里指其‘真义，即客观规律、艺术的内容即是形式意味，科学的内容是形式真义。‘动心也包括两个方面的意思：就艺术而言是指主体的‘动情，就科学而言是主体的‘动智。于是艺术美即是令人动情的有意味的形式，科学美即是令人动智的有真义的形式。”这里提出了“科学美”的概念，并指出“科学美”具有“真义”“动智”的特点。《简介》在“科学研究者在审美创造活动中以美启真表现”里指出“科学研究在追求对称和谐、逻辑简单性和数学美的同时，将促使科学理论不断向深刻化方向前进”。这里极其明白地指明了“数学美”的存在。

二、数学美的内涵

1.数学美的内容

传统的美学观念在美的定义里以其形象性、情感性排斥数学美。但又以其“自由创造”论标示了数学美的内容。《美学原理新编》中说，“美是自由创造的形象体现，而自由创造又是合目的性、合规律性的统一。”合乎规律性是真，合乎目的性（即合乎功利性，人的目的性都体现一定功利要求）即是善。在这一美的定义解说里，有三种因素可以看作数学美的内容：

（1）创造。数学科学规律存在于广袤的宇宙之中，数学规律的抽象、总结都是人们去探索发现的。数学规律的发现意味着发现者的“创造”，陈景润对“哥德巴赫猜想”的证明离成功还有一步之遥，就轰动了世界，牛顿和尼布莱兹创立了微积分，同时也开创了现代物理学。人们从其数学成果里同样能感受到“人的本质力量对象化”的激动与愉悦，整个人类从形成的数学中观照着自身的智慧，由此而产生的一切愉悦和激动是超乎单个的艺术美产生的愉悦之上的。人类创造了数学，数学创造了一切，也包括艺术。因而，形成数学美的创造是最具智慧的创造，也是最具美感的创造。

（2）真。合乎规律是真。数学揭示的宇宙间物象的普遍规律极其真实地反映着客观世界。例如，易经八卦揭示了宇宙的对立统一性，它就可以用二进制数表示出来。电脑的产生与研制就是基于数学的二进制。又如质能公式E＝mc2揭示了时间的相对性——物体在超光速运行下会出现时间倒流的现象。一切物理的化学的还是生物的理论及规律被数学表现得淋漓尽致。合乎逻辑是真，合规律就其本质而言就是合逻辑。数的运算法则就是一个逻辑系统，真实地反映了事物的因果关系，表现出极强的动智审美特点。

（3）善。合乎人类目的性是善，数学是人类认识世界的工具，也是人类反映世界的手段。它的产生承载着人类从原始走向文明，从蒙昧走向科学。它既可以表现为计算机运算——无人自动化生产、数字影视娱乐，也可以表现为宇宙飞船定位航行——在天体星际间定点来往。给人类带来无穷的福惠，无限的乐趣，无尽的理想。在实现人类的目的上具有无与伦比的善益性。数学以其最具“创造性”“真义性”和“善益性”与传统美的观念相对接，而表现出“理性的美”。

2.数学美的形式

《美学原理新编》中指出“形式美具有独立的意义，而形式美对美的具体内容带有相对的独立性”“形式美概括了美的形式的某些共同特征，具有一定的抽象性”。数学对客观世界中美的形式的抽象是多种多样的。就几何而言：“圆形柔和饱满；方形刚劲大方；立三角有安全感，倒三角具倾危状”“相交线表现为激荡；平行线表现为安稳”。就数而言，它抽象着时间与空间：如用正、负数表示未来与过去，用三维数、四维数、多维数来表示三维空间、四维空间、多维空间；它抽象着有限与无限：如有限小数与循环小数。数学抽象着整个物质世界。

数学美的形式和美式（一般指艺术美）中的形式美的法则也是一致的。如：

单纯齐一：单纯是见不到明显的差异和对立因素，齐一是一种整齐的美。如各种口诀表的形式，杨辉三角递增的一致性，圆形是单纯的代表、正方形是整齐的标志。

对称均衡：对称均衡是指以中轴为标志两侧的形式相同或相似。如对角线分开的平行四边形、直径线中分的圆、数轴两边的正负数等。

调和对比：调和是差异中趋向于同。如数的进制中的十进制，每一位上的数字是不同的，但每一位上是10个数字是相同的，显示一种调和的美；对比是差异中倾向于异。如正数与负数、加与减、乘与除、乘方与开方等表示着物量间的矛盾对比关系。

比例：如相似、位似，同形同构，及各种变换都反映了整体与局部、局部与局部之间的“匀称”关系。就一个知识点来说，“黄金分割”是视觉上最和谐的比例。

节奏韵律：如三角函数公式及周期规律，数列与级数、函数项级数等。

多样统一：数学理论、规律与内容更是反映了多样统一的法则。如数形结合的法则，代数式、方程与函数的关系等。数学内容丰富而不杂乱，统一而不单调。数学理论真正达到了整体的和谐性。

综上所述，不难想见，数学普遍遵循形式美的对称性法则、简单性法则、和谐统一性等法则。

三、数学的审美

1.数学审美的心理机制

“就科学审美活动而言，当有意义的张力形式与主体的审美心理的张力形式同形同构，审美主体就有了动智的美感。就有可能把握到实在美的本质并产生出科学美的概念和符号体系，即作出科学审美的创造。”（《简介》）数学审美与科学审美的机制一样，人们在审视数学理论时往往能够产生发自内心的动智愉悦，激起各种智力猜想，以致对它产生不可自制的迷恋，涌起倾心向往的审美情感。正是这种审美情感驱使人们投入到数学探索研究之中，从而促使新的理论的诞生。

2.数学审美创造

数学课程美的揭示与审美主体（学生）头脑中形成美的张力形式“同形同构”时，便可产生数学审美创造。数学审美创造的形成有如下的过程特点：①出现数学美。在数学教学中揭示数学美，给学生提供审美对象。一方面是显示数学美的内容：如对数学家发现数学规律的介绍，显现数学美的自由创造；指出各种数学规律、数学逻辑对现实世界的揭示，显现数学的真美；在教学数学知识时，同时介绍这种知识给人类带来的福惠，显示数学的善美。另一方面是展现数学的形式美，理解数学对现实的抽象形成美的形式；明确数学形式美的法则，特别是上述六种基本法则。②养成数学审美观。即构建学生头脑中的数学美的张力形式。这步工作是和揭示数学美同步进行的。③审美对象与审美观沟通结合，实现审美创造。教师的数学美育就在于对学生与数学美之间进行启发性沟通。