重视对“弹性势能”的复习

李先全

重庆南开中学，重庆市沙坪坝区400030

“弹性势能”在高考考纲中属于A级要求，只要求一般了解，不要求掌握弹性势能的计算公式，要求考生知道弹性势能的大小与弹性形变有关。但是在近几年的高考试题中多次出现有关弹性势能的问题，所以考生应注意对“弹性势能”这一概念的理解。

1 “弹性势能”的概念

发生形变的物体，在恢复原状时能够对外界做功，因而具有能量，这种能量叫做“弹性势能”。在工程中又称“弹性变形能”。例如，被压缩的气体、拉弯了的弓、卷紧了的发条、拉长或压缩了的弹簧都具有弹性势能。

对于某一弹簧而言，弹性势能与弹簧的形变有关，形变为零，弹性势能为零，弹性形变大，弹性势能大，弹性势能常用E璸表示。

2 弹性势能的变化与弹簧弹力做功的关系

弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系，类似于重力做功与重力势能的变化关系。弹簧弹力做正功，弹簧的弹性势能减少；弹簧弹力做负功，弹性势能增加。例如，水平弹簧振子在振动过程中（如图1所示），小球由平衡位置O运动到A的过程中，弹簧弹力做负功，弹性势能增加；小球由A运动到平衡位置O的过程中，弹簧弹力做正功，弹性势能减少。お

例1（2001年上海理科综合第17题） 有一种叫“蹦极跳”的运动中，质量为m的游戏者身系一根长为L、弹性优良的优质柔软橡皮绳，从高处由静止开始下落1.5L时到达最低点，若在下落过程中不计空气阻力，则以下说法正确的是（ ）

A．速度先增大后减小。

B．加速度先增大后减小。

C．动能增加了mgL。

D．重力势能减少了mgL。

分析 抓住橡皮绳在上述过程中的三个重要状态：原长状态、平衡状态、最长状态。它们对应的特点是：原长状态物体仅受重力，加速度为g；平衡状态时重力和弹力平衡，物体的加速度为零，速度最大；最长状态弹力大于重力，加速度不为零，速度为零。答案选A。

3 有关弹性势能与动能、重力势能、动量的综合问题

功能关系以及不同形式的能的转化和守恒是自然界中最重要、最普遍、最基本的客观规律，它贯穿于整个物理学中。而机械能与动量问题往往一起出现．下面举三种情况的例子。

（1）光滑水平地面上的系统，涉及动量守恒，动能与弹性势能的转化与守恒。

例2 如图2所示，A、B两个物体用一根轻弹簧相连，放在光滑水平地面上，已知A物体质量为B物体的质量的一半，A物体左边有一竖直挡板。现用力向左推物体B，压缩弹簧，外力做功为W。突然拆去外力，B物体从静止开始向右运动，以后将带动A物体做复杂运动．从A物体开始运动以后，弹簧的弹性势能最大值为（ ）

A．W。B．2W/3。

C．W/3。D．无法确定。おお

分析 拆去外力后，B物体运动到原长时，它的动能为W，

则速度为v0=Wm，

m为A物体的质量,这以后，动量守恒，

有A、B的共同速度v′=23Wm，

则E璸=W-123mv′2=W/3。

答案选C。

（2）水平小车上的系统，涉及动量守恒、动能、弹性势能及能的转化与守恒。

例3 如图3所示，在水平光滑的平面上，停着一辆平板小车，小车的质量M=10kg，在小车的A处，放有一质量为m=5kg的小物块（可以视为质点），现给物块一个瞬时冲量I=30N•s，物块便在平板车上滑行，与固定在平板车上的水平轻弹簧作用后又弹回，最后刚好回到A点与车保持相对静止，物块与平板车间的动摩擦因数为μ=0.4，求：

（1）弹簧在压缩过程中所具有的最大弹性势能E璸；

（2）物块相对小车所通过的总路程s。おお

分析 m的初速度v0=Im=6m/s，

当物块由A运动到弹性势能最大处时，物块和小车具有共同速度 v1，

由动量守恒mv0=(m+M)v1，得

v1=2m/s，由功能关系有：

12mv20=μmg•s2+12(m+M)v21+E璸。 ①

当物块最后回到A时，物块与车具有共同速度v2，由动量守恒有

mv0=(m+M)v2，所以

v2=v1=2m/s，由功能关系有

12mv20-12(m+M)v22=μmg•s 。②

由①和②式可以解得

E璸=30J，s=3m。

例4（2005年全国卷第24题） 如图4所示，质量为m¹的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m²的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为（m¹+m3)的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。

解答 开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有

kx1=m¹g。①

挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2有

kx2=m²g。②

B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为

ΔE=m3g(x1+x2)－m¹g(x1+x2)。③

C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得

12(m3+m¹)v2+12m¹v2=(m3+m¹)g(x1+x2)-m¹g(x1+x2)-ΔE。④

由③④式得

12(2m¹+m3)v2=m¹g(x1+x2)。⑤

由①②⑤式得

v=2m¹(m¹+m²)g2(2m¹+m3)k。⑥

由以上例题可以看出，对弹性势能及其变化的理解是解题中的难点，高考中往往也会结合其他形式的能量来考查。

(栏目编辑罗琬华)