从《科学素养的基准》看美国的数学教育思想

胡重光

《科学素养的基准》(以下简称《基准》)是美国《2061计划》中的一本著作。《2061计划》是美国科学促进协会联合美国科学院、联邦教育部等12个机构，于1985年启动的一项面向2l世纪人才培养，致力于中小学课程改革的跨世纪计划。它代表着未来美国基础教育课程和教学改革的趋势。这一计划不仅在美国的未来发展战略中具有极高的地位，而且在西方发达国家中也具有极大的影响，可以说引领了当今世界关于基础教育未来发展的新思潮。由于1985年恰逢哈雷彗星到达近地点，而该计划又是为了使美国现在的儿童——21世纪的主人——适应2061年哈雷彗星再次临近地球的时期的科学技术和社会生活的巨大变化，故命名为《2061计划》。因此，认真分析和研究《基准》中的数学教育思想，对我国的数学教育改革是很有参考价值的。

《基准》全书正文共12章(第13-16章为背景资料)，其中第二章“数学的性质”、第九章“数学世界”、第十二章“思维习惯”是专门论述数学教育的。

一、《基准》的产生及其特点

1基准的产生

《2061计划》的第一种著作是《面向全体美国人的科学》，《基淮》是它的姊妹篇，其任务是确定在新世纪从幼儿园到高中的美国学生在不同年龄段所应具备的科学、数学和技术方面的素养。这是一项学术性很强的大工程，但它并不是由理论领域的少数专家完成的，而是一项群众性的团队成果。制定《基准》的团队由6个以学区为单位的工作小组组成，它们分别来自美国的1个农村地区、1个城市近郊和4个城区。每个小组包括5名小学教师、5名初中教师、1O名高中教师、各学段的1名校长和2名课程专家，共25人。

为了理解《面向全体美国人的科学》一书中很多教师们并不熟悉的新内容，项目组成员走访科学家、数学家、工程师等。了解他们目前的工作，向他们提出一些有关科学应用、科学与环境和社会的关系问题；听讲座和大量阅读，特别是在科学史和哲学方面；参与研究和设计项目；制作可以总揽《面向全体美国人的科学》各章概念之间的联系的方块图，分析该书所涵盖的数学内容与《美国数学教师理事会标准》之间的关系：以跨学科、跨年级的小组讨论的形式开展工作，以便相互理解、相互帮助。

小组成员很注意从已有的研究成果中寻找帮助。他们收集了许多文章，并请一些著名的研究人员介绍他们对孩子们在学习科学、数学、技术中的问题所做的研究工作。当缺少有关的研究资料时，研究小组就根据他们与学生相处的亲身经验进行调查。

1993年初，《基准》的草案准备就绪，接着开始了大规模的审查、评议和修改工作。草案首先由美国科学技术教育委员会进行了一次全面、深入的评议；然后《基准》的草稿送给几千个知名人士评议，并举行小组讨论，畅所欲言；另外，全国各地还有75个志愿团体受邀参加评议工作；项目小组还向科学团体和教育团体征求意见，请他们组成评议小组，对《基准》草案进行讨论；全国各州的课程设置小组、研究开发中心、地区的教育实验室、美国科学促进协会的有关部门、项目组各阶段所聘用的顾问、工作人员和出版商以及有关科学和教育的工作者都被动员起来参加《基准》的评议，一些州成立了专门的评议小组；此外，草案还得到来自美国46个州的城乡中小学教师、科学家和工程师以及一些在数学、科学和技术领域名不见经传的团体的1 300多人次的反馈意见。

根据各方面的意见进行修改后，项目评议小组的负责人和从事数学、自然科学、社会研究和技术教育的顾问们又一起开会，讨论那些悬而未决的问题。在《基准》公布之前，美国国家科学技术教育委员会也开会进行了讨论。

就这样，经过大规模的反复审议、充分辩论和不厌其烦的修改，经过锲而不舍的艰苦工作，《基准》终于诞生了。

2《基准》的特点

阅读《基准》可以发现，《基准》有以下鲜明的特点：

首先，项目组的主要成员是教学一线的中小学教师，草案的完成是自下而上地进行的。《基准》认为：“只有当学校的管理者们都成为这个改革的进程的一部分时，教育改革才有意义，并能持久地进行下去，而任何简单的改革都不会产生作用。”也就是说，教育改革应源自学校的管理者，教师不但应该是改革的实施者，也应该是改革的设计者。只有教师自己提出的改革，才能为教师们充分理解，教师们才会主动地实施它。

其次，项目组不仅通过阅读资料来了解当代科学的最新进展，请科学家和工程师介绍他们的研究情况，还直接访问科学家和工程师，了解他们是怎样做的，并且参与他们的研究和设计项目，亲身体验科学研究的过程。

我国的素质教育要求培养学生的创新精神和实践能力，实际上就是希望学生学会像科学家、工程师那样工作。而要让学生做到这一点，教师首先必须了解科学家和工程师是怎样工作的，并对此有亲身的体验。著名数学教育家波利亚指出：数学教师如果没有从事数学创新活动的体验，那么他们不但不能教会学生从事这种工作，甚至不能评价学生的数学创新活动。《基准》的制定者们的工作正是体现了这种思想，而这在我国还是一个薄弱环节。

第三，《基准》为各年龄段的学生安排学习内容都是以教育教学的事实作依据的。在《基准》的制定中，如果有人称某一年级的学生理解某个概念，他就必须提供证据，而所有的研究小组就要思考什么是学生理解这一概念的证据，所提供的证据能否证明它。这一点突出地体现了美国学术界的求实精神。我国的教育教学研究常常是从理论上进行思辨，或者热衷于推介发达国家的新理念，真正深入学校、深入课堂，与教师、学生“零距离接触”的实证研究还不多见。

第四，《基准》的制定过程充分体现了美国政府和人民对教育的高度重视，体现了美国教育界、科学技术界乃至美国人民的科学态度和求实精神，值得我们学习和借鉴。

二、《基准》的宏观思想

1科学素养是核心

《基准》认为，学习科学、数学和技术的共同核心应该集中在科学素养上，而不是对各个分支学科的理解。《基准》一开始就开宗明义地指出了科学素养的重要性和作用：“科学素养使公民具有必需的理解能力和思维习惯，使他们能够紧跟世界发展形势，大致知道自然和社会的运行情况，批判性地和独立地思考。对事件的不同解释加以辩论和权衡并提出协调方案，敏锐地处理那些有关证据、数字、模型、逻辑推理和不确定性的问题。”(关于《科学素养的基准》，这是一篇介绍《基准》的文章，附在《基准》一书的前面。但无页码。)

由此可看到《基准》对科学素养的认识，即科学素养体现为思维习惯和理解能力，科学素养较高的人具有独立的、批判性的思考能力和判断能力，能敏锐地处理现代社会中的各种信息。

《基准》认为，具有科学素养的人并不一定以科学、数学或技术作为职业，这就如同具有音乐素养的人不一定能谱曲和奏乐一样。然而，当面对日常生活中的观念、主张和事件时，他们可以运用科学、数学及技术的思维习惯和知识进行思考和

处理。因而科学素养可以增进人们敏锐地观察事物的能力、全而思考的能力以及领会人们对事物所作出的各种解释的能力。此外，这种内在的理解和思考可以构成人们决策和采取行动的基础。

由此可以看出，《基准》的这一理念与我国主张的素质教育是相通的，但《基准》提得更为具体。科学素养应是素质教育的一个方面。《基准》特别注重培养学生的批判性思考能力，强调应该鼓励学生不断地质疑。批判性思维可以说是创新的基础，没有批判性思维，凶循守旧，就谈不上创新。

与思维习惯和一般能力相对的是各学科的特殊技巧。我国基础教育阶段的数学教育特别重视数学的解题技巧，要求学生做大量的各种类型的题目，以提高解题能力，这就削弱了思维习惯和一般能力的培养，特别不利于培养批判精神。因为要解的题目的结论都是正确的，都是可解的，这就容易使学生形成思维定式。

《基准》特别指出数学在现代文化中扮演着中心的角色，所以对数学性质的基本了解成为培养科学素养的需要。要做到这一点，学生需要将数学视为科学活动的一部分，了解数学思维的本质。我国数学教育界对数学思维的本质研究甚少，它应成为的一个重要研究课题。

2学习内容应少而精

《基准》对于课程改革的一个重要的宏观思想是必须精简学习内容。《基准》指出：“如果我们希望学生学好科学、数学和技术，就必须大幅度地削减当前教学内容的绝对数量。内容过多的课程，鼓励学生死记术语和算法，可形成短期记忆，却影响理解能力的形成。”

《基准》还要求最大限度地减少记忆那些孤立的事实和概念，而应把重点放在必修的科学和数学课程中大量主题的纲要上。因为科学和数学中的许多概念是十分抽象的。用任何有效的方法学习重要的概念都要比预想的花费更多的时间。

美国中小学各科的教学内容普遍比我国少，但仍主张“大幅度地削减”，这一点再次体现了美国教育界的“能力本位”思想。我国目前的教育思想仍然固守在“知识本位”的层面上，教学内容偏多，难度偏大。知识可以应付考试，但如果不具备灵活运用知识的能力，则未必能解决实际问题。

3重视科学史的教学

《基准》认为，科学史是理解“科学工作是怎样进行的”这一问题的重要途径，因此十分重视科学史的教学，并在《基准》中专门安排了“历史观点”这一内容。《基准》指出：“当学生们学习科学和数学时，他们应该知道所学的这些概念的历史和文化渊源。”并具体指出，在教学中，有必要用翔实的传记、参考书和影片来研究历史上的实例。同样，科学与历史的教科书也应该加以修订，要加入科学史的内容。应该从讲授古埃及、古希腊、中国以及阿拉伯的文化、科学、数学和技术开始，逐渐将这些教学内容延续到现代。对于数学，《基准》特别指出：“关于数学是怎样发展起来的典型事例的教学，可以使学生从中了解数学工作的一些主要特性。”

我国的中小学数学教材中虽然也编入了少量数学史知识，但只作为学生的阅读材料，教师并不讲解，也不作教学要求，显然达不到上述目标。《基准》的这些关于科学素养的宏观思想值得我们注意。

三、《基准》的数学教育理念

1让学生完整地经历数学研究的三个步骤

数学教育的最基本的问题首先是对数学和数学研究的认识，Hesh说：“问题并不在于教育的最好方法是什么，而在于数学到底是什么。……如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学的争议。”Thom说：“事实上，无论人们的意愿如何，一切数学教学法根本上都出于某一数学哲学，即便是很不规范的教学法也如此。”

《基准》认为，数学是“研究模式和关系”的科学，这一定义已为我们所熟知。值得注意的是，《基准》对数学研究的论述。《基准》指出，“数学研究由表述、运算和验证三部分组成一个循环”。其涵义是，数学研究的第一步是将研究的问题用数学符号来表示，这就是“表述”；第二步是对这些符号或由符号组成的表达式依照一定的规则进行有目的的运算，直至得出有意义的结果；第三步则是对这些结果进行验证，如果它们与已知的正确结论或事实矛盾或部分不符，则应重新进行从第一步开始的研究。《基准》认为，以上三步的每一步都应作为学习数学的一个环节来认真学习，并且学生应该有机会经历运用这个完整循环的过程。也就是说，数学教育应该让学生完整地经历数学研究的三个步骤。

传统的数学教育则基本上只让学生从事第二步的学习。学生解答或证明的问题一般都已经过数学加工或已经用数学符号表述好了，学生要做的只是对表述好的问题进行运算或推理。而这些问题一般都有惟一正确的答案，对于证明问题来说，正确答案已经指出，无需验证；对于解答问题来说，也只需验证答案是否符合给定的已知条件，验证的环节也是很简单的。这就是常说的数学教育中的“烧中段”现象。

苏联的A.A.斯托利亚尔也把数学活动分成三个阶段：1)经验材料的数学组织化(数学描述，也称为具体情况的数学化)；2)数学材料的逻辑组织化；3)数学理论的运用。并指出：“数学活动的第一和第三两个阶段(问题的数学化和理论的运用)的重要性并不低于第二阶段(建立合乎逻辑的理论体系，在科研中如此，在教学中更是如此。纯演绎地进行教学，即只考虑这三个阶段之一的教学，按有名的法国数学家绍盖所说，是‘无结果的且不完全的，教学必须有使大脑建立新结构并由一个思维水平向另一个思维水平发展的阶段。”这里特别值得注意的是，斯氏认为，在教学中比在科研中更应重视数学活动的第一、第三两个阶段。

对比《基准》的三个环节可看出，它们的主要区别在于第三个步骤，《基准》提的是“验证”，斯氏提的是“理论的运用”。验证包括到实践中检验，这种检验也是一种运用。可以看出。《基准》的三个环节主要是针对数学学习的，而不是针对数学研究的。从斯氏的《数学教育学》一书中我们可以看到，他认为数学学习与数学研究在方法上是等同的。实际上，《基准》对数学应用是非常重视的。

2注重培养学生的数学应用能力

《基准》认为，出于培养一般科学素养的目的，对学生来说，学习数学的最重要的目标之一是要学会在日常生活中使用它们。为了达到这一目的，《基准》强调数学教学应该将解答基础问题与解决实际问题有机地结合起来。“在安排教学大纲时应使学生在进人数学本身的学习之前、之中以及之后，都能在许多不同的事例中遇到所学数学的规律和关系。”即在整个数学教学过程中，都应结合实际事例来学习。并强调指出：“事实证明，就绝大多数学生而言，先学习抽象的数学内容，然后学习它的应用，这样做的效果不好。”而我国的数学教育通常是先学习数学理论，再学习理论的应用。这两种情况形成了鲜明的对比。特别值得我们注意的。

在学校教育中，数学应用的主要环节是解答习题。《基准》对传统的数学解题教学提出了批评：“人们发现，虽然学生能够解答每章末尾的习题、练习册和测验中的问题，却无法保证

他们在实际情况中具有解决问题的能力。这并不奇怪，因为在传统的数学教学中，给出的问题常常缺少有趣的真实内涵：在进行算法记忆训练时也没有与应用相配合；使用的数字没有单位，或者不注意数字的含义；学生在判断答案是否令人满意时，得到的辅导微乎其微。”并且提出应该尽量减少习题中的人为编撰的成分，至少有一部分习题应该直接源自正在研究的科学和技术。应该鼓励学生用数学方法，即数字、形状或运算来描述各种事物。

毫无疑问，解答这样的习题对培养学生的数学应用能力是特别有效的。这应该是我国数学解题教学的努力方向。要做到这一点，教材的编撰者应该密切关注当前的科学研究和生产实际，发现其中适于学校数学教学的问题，将其编入教材。教师也应该通过各种渠道获取这样的学习材料，补充到教学内容中去。

3注重数学模型的教学

20世纪中叶。随着数学模型的日益广泛的应用和成功解决大量实际问题，其在数学中的地位不断提高。传统数学将证明定理作为数学研究的主要目标的情况发生了变化，创建数学模型日渐成为数学的重要目标之一。1994～1998年任世界数学联盟主席的D.Mumford在论述现代数学的趋势时说：“创建好的模型正如证明深刻的定理一样有意义。我想。承认这一点，数学将会从中受益。”

由于以上原因，数学建模已成为数学教育的重要内容。但我国的数学建模教学只限于大学，从《基准》中可以看到，美国已将数学模型的教学作为中学数学的教学目标和教学内容。《基准》指出，在高年级，应该把较多的重点放在数学模型上。对于8—12年级(相当于我国的高二至高三)的学生，《基准》都提出了在数学模型方面的教学要求。

对于数学模型的教学，《基准》特别强调其应用。《基准》指出，数学模型教学的主要目标是使学生学会如何在不同的情况下建立和运用模型，而不是简单地背诵模型的一般原理。《基准》还特别指出，应该使学生懂得，解决某一实际问题的数学模型并不是惟一的，即使实际结果与预测结果相当吻合，也不一定意味着这是惟一正确的或者是惟一可以运用的模型。《基准》还要求学生能运用计算机研究数学模型。由此我们看到，《基准》倡导的数学模型的教学与数学工作者的实际研究工作是十分贴近的。

对比《基准》的上述论述，我国在中学数学中引人数学模型的内容势在必行，有大量的工作要做，它应成为我国中学数学教学改革的一个重要方面。

《基准》中还有不少重要思想观点限于篇幅，不再一一赘述。总之，《基准》是一本内容十分丰富的文献，值得认真、仔细、深入地加以研究，本文希望能起到一个抛砖引玉的作用。