激趣.猜想.验证.沟通.建模

姜家凤

在小学数学课堂教学中,如何根据知识的形成和发展规律,联系学生的认知水平,有效突破传统教学模式,创建以学生为主体的教学模式,使教学过程充满情趣,教师教得轻松,学生学得愉快,是当前课堂教学改革的主旋律。下面以人教版数学六年级上册“数学广角”中“鸡兔同笼”为例谈谈自己的认识。

一、情境激趣

兴趣是学生学习的催化剂,是推动学生学习的内驱力。在数学教学中,要创设和谐、愉悦的课堂气氛,遵循学生学习数学的规律,通过数学的艺术性、形象性、直观性、趣味性来调动学生学习数学的积极性,培养学生的学习兴趣。“鸡兔同笼”是我国著名的算术著作《孙子算经》中的内容,此题具有典型性,因此,课开始,我从古题引入。

师:中华文化源远流长,《孙子算经》是我国古代一部非常重要的数学名著,里面记载了很多有趣的数学名题,其中有这样一个问题(电脑显示):“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问雉兔各几何?”

师:在这道题中,你有不明白的词语吗?

生:“雉”是什么意思?(电脑显示:“雉”读“zhì”,就是野鸡。)

师:谁来说一说,这道题给出了哪些条件?提出了什么问题?

生:有一些野鸡和兔关在一个笼子里,从上面看,共有35个头,从下面看,共有94只脚。问有多少只鸡,多少只兔?

师:古人对这样的题目有着独到的见解,我们把类似于这样的问题统称为“鸡兔同笼问题”。今天,我们就来研究“鸡兔同笼问题”。

〔反思〕教学是对文化的传承与弘扬,数学教学也不例外。用古代数学名题导入,不仅让学生感受到数学文化的悠久与魅力,而且激发了学生探究的兴趣和动机。

二、积极猜想

猜想是依据已有的材料或知识经验,对研究的数学对象(或数学问题)做出符合一定规律的推测性想象。猜想是一种直觉性的比较高级的思维方式,对于探索性和发现性学习来说,猜想是一种重要的思维方法。波利亚说:“在数学的领域中,猜想是合理的、值得尊重的、是负责任的态度。”他还认为,在有些情况下,教猜想比教证明更为重要。所以出示例1后,启发学生积极猜想。

师:为了便于研究,我们从简单问题入手,把题中的“35个头”和“94只脚”分别换成“8个头”和“26只脚”。

例1:笼子里有若干只鸡兔,从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚,鸡和兔各有几只?

师:请同学们猜一猜,鸡兔可能各有几只?

学生猜测、汇报。

师:可能只有一种动物吗?为什么?

生:不可能。如果都是鸡就只有16只脚,而题中的是26只脚;也不可能全是兔,因为如果都是兔就有32只脚。

〔反思〕由于学生已经具备了一定的生活经验和知识储备,他们会猜测出各种答案(但绝不会猜测全部是鸡或全部是兔子),这样的猜测不仅为解决问题指明了方向,还增强了学生的数感,发展了推理能力。

三、科学验证

实验验证是科学研究的重要方法。实验中,学生会想方设法寻找一种证明“自己是对的”操作方法。

师:你们的猜想对不对呢?你能想一个办法来推出你的猜测是正确的吗?请同学们小组内讨论交流。(学生讨论交流,教师巡视指导。)

师:谁愿意展示自己的方法?

(综合学生的解法,有以下四种方法。)

(1)列表法。

师:你们是怎样想的?

生:从有1只鸡开始,一个一个地试,把试的结果列成表格。从表中看出3只鸡5只兔符合题目要求。

师:除了列表法外,还有其他方法吗?

(2)画图法。先画8个圆圈代表8个动物的头,再为每个动物画2只脚。这样,还少了10只脚,因为每只兔子少了2只脚,所以是5只兔子,3只鸡。

师:画图的方法便于观察,也容易理解。

(3)假设法。

师:兔有4只脚,鸡只有2只脚,这岂不是不公平吗?

生:鸡还有2只翅膀呢!

师:如果翅膀也算“脚”,总共该有多少只脚呢?

生1:8×4=32(只)脚,若翅膀不算“脚”,只有26只脚,可多出32-26=6(只)翅膀,这样,鸡就有6÷2=3(只)。

生2:假如我给这群小动物发口令:“鸡不动,兔子起立!这样,它们都只有2只脚在地面上了,就得到16只脚(8×2=16),那就少了10只脚,就可以知道兔子是10÷2=5(只)。

师:你怎么会想到这样方法?能告诉大家吗?

生:我让兔子起立,实际上是把兔子的脚分为两部分,一部分和鸡一样多,另一部分是比鸡多出的。

(4)代数法。

师:除了以上方法外,还有其他方法吗?

生:还可以用方程解答。

师:请同学们试一试用方程解答。

生:设有x只兔子,鸡就有(8-x)。列方程:4x+2(8-x)=26 解:x=5,即兔子有5只,鸡有8-5=3(只)。

〔反思〕教师组织学生多层面、多角度地探索问题。学生先用“列表法”和“画图法”验证。在验证过程中,不断发现新的问题,提出解决策略“假设法”与“代数法”,并在解决新问题的过程中不断完善自己的猜想,发挥创造才能,最终发现规律。

四、沟通联系

从传统的解“应用题”到新课程提出的“解决问题”,发生了根本性的变化。解决问题更加关注的是当学生在生活中遇到实际问题时,如何运用数学思想探求解决问题策略。解决问题的策略是多样的,当学生用几种方法解决了“鸡兔同笼”问题后,引导学生反思,沟通策略之间的联系并优化解法是必要的。

师:请同学们回忆一下,刚才解决鸡兔同笼问题时,用了哪些方法?

生:列表法、画图法、假设法和代数法。

师:要你们解决《孙子算经》中的原题,你会选择哪种方法?为什么?

生:我选择假设法。

生:我选择代数法。因为当头和脚的只数较多时,用列表法和画图法比较麻烦,而且有一定的局限性,是不容易找到答案的。

师:这些方法之间有联系吗?

生:有联系。通过列表法,我们知道了可以假设鸡分别有1、2、3只……兔子就对应着7、6、5只……这是假设法的基础。

生:画图法也是假设法的基础。

生:从列表中,我们还可以看出,如果鸡有1、2、3只……兔子就有8-1=7只、8-2=6(只)、8-3=5(只)……也就是说,如果鸡有x只的话,兔子就有(8-x)只。

师:用你喜欢的方法解答《孙子算经》中的原题。(学生自行回答。)

〔反思〕列表、画图、假设与代数法都是解决问题的策略,列表法和画图法直观形象,简便易行,但有其局限性。教学时要让学生理解这些策略的特点,恰当地选择运用,在分析问题和解决问题中体验解决问题策略的多样

性。

五、建构模型

数学模型是人们以数学方式认识具体事物、描述客观现象的最基本的形式。人们以数学方式通过分析、比较、判断、推理等思维活动,探究具体事物的本质及联系,最终以符号、模型等将其规律揭示出来,使复杂的问题本质化、简洁化、一般化,使某类问题的解决有了共同的程序与方法。可以说,数学模型反映了数学思维的过程。建立数学模型是数学教学本质特征的反映,也是数学学习和课程改革的重要任务。因此,当学生理解了“鸡兔同笼”问题后,让学生对生活中的一些例子开展练习活动并进行数学模型的建构,是教学的一个重要环节。

1.出示儿歌:“一队猎人一队狗,两队并着一队走,数头一共49,数脚一共176,有几个猎人几只狗?”

师:读这首儿歌,你知道了什么?能用解答鸡兔同笼问题的方法求解吗?

2.育红小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动,男同学每人栽3棵树,女同学每人栽2棵树,一共栽了32棵树。男女同学各有几人?

〔反思〕学生学习数学知识的过程,实际上是对一系列数学模型的理解、把握的过程。学生在探索数学模型的过程中,同时获得了构建数学模型、解决实际问题的思想、程序与方法,二者对学生的发展来说,其意义远远大于仅仅获得某些数学知识。重视渗透模型化思想,正是顺应了这种改革的趋向和要求。让学生联系生活实际练习,一方面巩固新知,另一方面从题型的结构中理解“鸡兔同笼”问题的特征,促进了数学思想及方法的内化。

作者单位

江苏省溧阳市教师进修学校培训处

◇责任编辑:李瑞龙◇