一次变式教学带来的意外收获

王道金

一、提出问题

笔者现任教高三理科实验班，在教学中遇到这样一个问题：（Ⅰ）已知不等式+≤c≤+对一切正实数x，y均成立，试求常数c的值.笔者将问题变换为：（Ⅱ）已知不等式+≤f（n）≤+对一切正数x，y均

成立，试求函数f（n），（其中n>1，n为常数），并在课堂上将问题呈现给学生.当时同学们已经解过问题I，问题II一出，他们都很感兴趣，纷纷跃跃欲试.

二、课堂实录

师：很明显，问题Ⅱ是问题Ⅰ的一种推广，解决问题的方法应该有相通之处，首先，我们如何猜测f（n）？

生1：可以将x，y特殊化，用夹逼的方法得到f（n），具体说就是令x=y，则有≤f（n）≤，如果存在f（n），则有f（n）=.

师：生1的推测说明f（n）=的一种可能性.

他的过程能否足以说明f（n）=.

生2：不能，还需证明f（n）=能使不等式

+≤≤+对一切正数x，y恒成立.

师：为了叙述的方便，我们记A=+，B=+，如何证明A≤≤B呢？不等式的证明是问题的核心，希望同学们开动脑筋，完成不等式的证明，我们将用展示台予以展示.

同学们立即投入到紧张的探索之中.教师巡视，时而与学生交流. 约10分钟后，学生开始展示证法.

生3：A=

=

=[1+]≤[1+]

=（1+）=.

当且仅当x=y时取“=”，同理可以证明B≥.

师：生3先将A中的两项通分，对分子中的项适当分离之后，再用放缩法证明，很好！

我们知道，不等式一般有比较灵活的变形，能不能采取其他的不等式证法？

生4：联想到一个不等式（a+b）（+）≥4（a>0，b>0），我想到一种证明方法.

展示：A=[+]

=[+]

=[2-（x+y）（+）]

=[2-（nx+y+ny+x）（+）]

≤[2-·4]=.

B=[+]=[+-2]=[（nx+y+ny+x）（+）-2]

≥（·4-2）=.

师：此种解法技巧性很强，真让人耳目一新！同学们还有没有不同的想法？

生5：生4的证明方法真的很巧妙，但是表达式过于复杂，造成A，B表达式复杂的主要因素是分母，于是我就产生了整体换元的想法.

展示：设p=nx+y，

q=x+ny，则x=

，

y=

，

则A=+=+

=[2n-（+）]≤[2n-2]=.

B=+=[2n（+）-2]

≥[2n·2-2]=.

师：同学们觉得怎样？

（学生的赞许声四起）说实在话，这种方法之前老师都没有想到，同学们真了不起！

还有没有其他不等式的证法？（生6举手发言）

生6：老师设置的A，B两式让我想到对偶思想，实际上有nA+B=+++=2只需证明B≥A就可以了，而

B-A=+-（+）=≥0，

∴B≥A.

∴2=nA+B≥（n+1）A解得A≤.

2=nA+B≤（n+1）B解得B≥.

师：实在是妙！这里用对偶方法，非常简洁！同学们再想想，A，B中含有双变量，我们能不能用已经学过的函数方法解决问题？

生7：我感觉决定A，B的实质上是x，y之间的比值，所以可以令，t=（t>0），

展示：则A=+=+，记为h（t），

则h′（t）=+

=（+）.

从而说明t∈（0，1）时，h（t）为增函数，

t∈（1，+∞）时 h（t）为减函数，

∴当t=1时，h（t）有极大值，也是最大值.

h（1）=，也即Amax=，

用同样的方法可以得到Bmax=.

师：生7透过现象看本质，构造函数，并用导数分析函数的最值，这种函数思想方法值得重视.

既然可以联想到函数，还可以怎样化x，y的双变因素为单变因素，从而达到证明不等式的目的？

生8：既然A，B都与x，y的比值有关，由代数式的轮换结构特点，不妨设x+y=1，

令f（x）==，则f（y）==.

我们可以分析f（x）的凹凸性（笔者注：在理科实验班向学生介绍过二阶段导数及凹凸性等内容），再用凹凸性证明不等式.

展示：f ′（x）=

=[]，

f ′′（x）==[]<0.

∴f（x）在（0，1）上为上凸函数.

∴f（x）+f（y）≤2f（）=2f（）=，

即A≤.

同理令g′（x）== x∈ （0，1）

则，g′（x）=，g′′（x）=>0.

∴g（x）在（0，1）上为凹函数，

∴g（x）+g（y）≥2g（）=.即B≥.

师：同学们，生8的解答再次说明你们的思维能力是不可限量的，只要平时多思考，你们的思维都可能变得光彩夺目！

同学们的赞叹声刚停，生9就举手发言.

生9大声地说：刚才各位同学的证明都很精彩，我认为问题II是问题I的推广，实际上问题II也可以推广.

生9推广的展示：

+≤≤+（Ⅲ）

当n>m>0时，此不等式对一切正数x，y均成立.

师：请生9介绍一下发现过程好吗？

生9：问题Ⅱ中n 的条件实质上是，若将n一般化为（n>m>0），则+≤≤+

各项同乘以，即得结论（Ⅲ）成立 .

师：真的很棒！我们为生9鼓掌！（教室内顿时掌声热烈，这时下课铃声响了，老师鼓励学生多思考，敢于探索，课后可以接着推广）

三、课外探究

课后生10的推广：设x>0、y>0、z>0，n>0，n为常数. 若不等式恒成立，++≤f（n）≤++，则f（n）=.

生11的推广：设x>0、y>0、z>0，n>0，n为常数.

若不等式++≤f（n）≤++恒成立，

则f（n）=.

一般地，xi>0（i=1，2，…，m），n>0，n为常数.

若不等式++…+≤f（n）≤++…+，对xi>0恒成立，则f（n）=.

四、课后反思

教育部制定颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.”我们认识到：课堂不应只是教师表演的舞台，而应是师生交流、互动的舞台，应该是师生共同探究知识的场所. 教师是学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者，数学探究课题的创造者. 本节课教师以变式问题切入，很快激发了学生的探究兴趣，在探究过程中教师仅作少量的指导，学生或分组讨论或独立思考，在学生展示的精彩证法中有些是教师在课前并未预料的，学生不仅在证法上作了大胆而精彩的创新，而且还不止一次的将原结论进行推广延伸，研究性学习和课堂学习的有机整合使学生热情高涨，学生在对新知的探究过程中，加深了对数学的理解，提高了创新能力和自信心，在数学学习中有了更强的求知欲望. 缺乏变式的数学课堂不能成为好课堂，缺乏研究的数学课堂同样不能成为好课堂，笔者在进行变式教学和研究性学习的整合尝试中，较大限度地激活了学生的思维，让学生尝到了探究成功的喜悦，真是一次意外的收获.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。