高中数学教学中排列组合应用问题解题探析

徐小锋

排列组合应用问题是高中数学教学中一块较为抽象的问题，需要学生有较强的分析理解能力。因而，学生对此理解不透彻，学习起来难度很大，并且很难能够找出错误的原因，在高考中，这类题型的得分率较低。因此，笔者根据多年的高中数学教学实践经验，对排列组合应用问题的思考方法作以下的初步探讨，以便与同仁们商榷。

1、总的原则

(1)深入弄清问题的情景

要深入弄清所要解的问题的情景，切实把握住各因素之间的相互关系，不可分析不透就用A琺璵或C琺璶乱套一气．具体地说：首先要弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用A琺璶；反之用C琺璶．其次，要弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的．前者用乘法原理，后者用加法原理．事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用乘法原理，哪一步用加法原理．

(2)两个方向的解题途径

对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．

(3)要特别强调一题多解

原因有二．第一，一题多解几乎是解排列组合应用问题最主要的检验方法；第二，一题多解，可以从不同角度对题目进行剖析，是训练这类问题的分析能力的有效手段．

2、对常见问题分类总结

(1)有相邻要求的排列问题

例１：７人站成一排照相，其中王、张、李三个朋友要挨在一起．求有多少种站法？

分析：解决这个问题，当然有许多方法，可以让其余的人排好，把王、张、李逐次放入，也可以７人全排列后，把王、张、李不全相邻的情况去掉．但最简单的方法是：第一步，把王、张、李看成一个人，去和其他的４人做５人的全排列，第二步，在上面的每种站位里，让王、张、李再做３人全排列．这好像先把有相邻要求的人捆起，以后在放开。我们不妨称之为“捆绑法”．

(2)分配问题

把一些元素分给另一些元素来接受．这是排列组合应用问题中难度较大的一类问题．因为这涉及到两类元素：被分配元素和接受单位．而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进行组合的，于是遇到这类问题便手足无措了．

事实上，任何排列问题都可以看作面对两类元素．例如，把10个全排列，可以理解为在10个人旁边，有序号为1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”：

①每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是A琺璶，这n舖、其中m是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要n舖、个数为m的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为A少多、这里的“多”只要“少”、

例2：8名大学生分配给9个工厂，每个工厂至多要1名大学生，问有多少种分配方案？

例3：把9名大学生分配给8个工厂，每个工厂至多接受1名大学生，问有多少种分配方案？

以上两例的解答相同，都有A89-362880种方案、

②分组问题

几个元素分成p组，各组内元素数目为m1，m2，…，m璸,其中组内元素数相等的组数为k，则分组方案C琺璶·C﹎2﹏-m1·C﹎3﹏-m1-m2…C﹎璸﹎璸狝琸璳、

③被分配元素和接受单位的每个成员都有“归宿”,并且不限制一对一的分配问题，方法是分组问题的计算公式乘以A琸璳、

因为在分组问题里，如果第1组内a，b，c,第2组内d，e，f,和第２组内a，b，c，且第１组内算同一个方案、所以，要把总方案数除以A琸璳、

例4：把６棵不同的蔬菜，分别捆成３捆，在下列情况下，分别有多少分捆的方法？

(1)每捆２棵；(2)一捆3棵，一捆2棵，一捆1棵、

解：(1)C²6·C²4·C²2A33=15；(2)C36·C²3·C11=60

例5：把6棵不同的菜，分别种在3块不同的土地上，在下列情况下，分别有多少种植方法？

(1)每块地上种2棵；

(2)甲地3棵，乙地2棵，丙地1棵；

(3)一块地上3棵，一块地上2棵，一块地上1棵、

解：(1)C²6·C²4·C²2=90；(2)C36·C²3·C11=60；(3)C36·C²3·C11·A33=360

变式：如果是7棵不同的菜，种到13块土地上，一块地上3棵，一块地上2棵，还有一块地上2棵呢？

答案为C37·C²4·A²2A²2

④各接受单位的接受数目不限(包括可以不接受)且全部元素要分完的问、

例6：有5名高中毕业生报考大学，有3所大学可供选择，每人只能填一个志愿，有多少种不同报名方案？

分析：每名学生都有3种选择3×3×3×3×3=35

(3)有不相邻要求的排列问题

方法可以是，第一步先把没有不相邻要求的元素排列好；第二步把有不相邻要求的元素，向已排列好的队伍中元素间的“空挡”(包括两端)作分配．

例7：要排一张有5个唱歌节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不相邻，问有多少种不同排法？

解法一：A55·A36

解法二：A66·A35

解法二的思路是，先把1个舞蹈节目和5个歌唱节目一起全排列，然后把余下2个舞蹈节目去插空，由于队伍中已有1个舞蹈的两边不能插舞蹈，于是有A35．

总之，教师在高中数学排列组合教学中，必须要求学生在解题时，仔细审题，分析题意，逐步分层解决题目中需要解决的问题，这样才能有效提高在高考中做这类题的正确率。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”