也谈“判别式法求分式函数值域”

顾日新

对于形如y=dx2+ex+fax2+bx+c(a•d≠0)的函数，求其值域常用判别式法.但对于函数的自然定义域不是R的情形(注：这里的自然定义域是指使函数解析式有意义的自变量的范围)，学生往往不知所措.文［1］对这种情形均作了较为详细的阐述.但是在去掉由△≥0得到的y范围中的增根时，只对△=0时对应的y值进行了检验.至于为什么要检验△=0时对应的y的值是否为值域的增根?为什么只检验△=0时对应的y的值是否为值域的增根?难道△>0时对应的y的某个值就一定不会是值域的增根?产生增根的原因是什么呢?是不是这样的函数一定会产生增根呢?如果不是，那什么样的函数才会有增根呢?这些“如鲠在喉、不吐不快”的问题也正是本文要着力探讨的问题.不当之处，请批评指正.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”