从新旧教材例习题的变化感悟课程理念

李建明

蔡上鹤先生认为“教科书由正文、例题和习题三部分有机组成的”.这就是说数学的例习题是数学教材的重要组成部分，所有数学教材无一例外地会配备大量的例题和习题.数学的例习题一方面起到了加深学生对概念、知识的理解，复习并巩固知识的作用；另一方面也是培养学生能力的重要载体.但是长期以来我们很多一线教师往往重视了例习题的上述作用，而忽略或轻视了教材例习题的编写对我们教学理念和教学思想的指导作用，往往由于不了解编者选题的真实意图而降低了这些例习题的功能.本文通过对普通高中教科书(必修)与新课标教科书(人教A版)(以下简称老教材与人教A版)《函数》章中例习题的变化去感悟例习题中所蕴含的新课程理念，以期对我们的教学有所帮助.

1.改变设问方式加深概念理解

例习题的重要功能就是进一步促进学生对概念的理解，但同样的背景素材由于设问方式的不同可能产生的效果就大不一样，为了让学生对相关概念有清晰而深刻的理解，人教A版教材在这一点上做得很细致，可谓是煞费苦心.

案例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数y=f(x)(人教A版P21例3).

初看此例好象与老教材相应例题没什么区别，但仔细一比对，发现这其中有名堂.看老教材P54例1：某种笔记本每个5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本的钱数记为y(元).试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像.同样的素材，仅仅改变了设问方式，很明显让我们感悟到编者的用意：让学生对函数的三种表示法的“平等地位”的认识，函数的三种表示法是函数的三种不同表现形式，不同的表示法在不同的问题背景下有其各自独到的优势，在很多函数问题中能够实现优势互补，这就是“数形结合”这一数学思想方法的根源所在.如此学生对函数概念的理解会更加到位，更加清晰.

2.缩编题干信息注重数学本质

新课程强调数学应密切联系生活实际，选择学生身边的事物，让学生感受数学与生活的密切联系，让学生初步用数学的眼光观察生活，用数学的思维思考生活，感受数学的魅力，从而使数学走进学生的生活.“数学生活化”是新课程的重要理念之一.但是片面追求“生活化”，缺少抽象化、数学化的提炼，忽视数学学科本身所具有的抽象性与严谨性，也是不利于学生数学水平的提高的.

案例2 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数图像(人教A版P23例6).

我们知道此例题是为了让学生理解分段函数而编写的，老教材P54的例2(国内投寄信函的邮资问题，题目太长，略)也是这个目的，但老教材这个例题最明显的一个缺点就是题干太长，信息量太大，学生解决问题的难点集中到了对题干信息的理解上，弱化了数学的本质.同样下面案例的改编也是出于同样的目的.

案例3 《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：

全月应纳税所得额税率(%)不超过500元部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少?(人教A版P49复习参考题B组第7题)

此习题显然改编自老教材P56习题2.2第6题，但题目长度不到原题一半，对现实的背景素材作了大量的裁减，使得问题的题干部分清楚而简洁，而学生对原问题的困惑的原因正在于题干部分信息太多太复杂，所需解决的数学问题反而变得可有可无了，有点本末倒置的感觉.也正是这种改编，更好地体现了数学来源于生活，但又不能过于强调“生活化”的道理，数学教学应该在不失数学味的前提下恰当的生活化，这也是值得我们一线教师深思的问题.

3.整合相关例习题纠正“双基异化”

课程标准指出：“应删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容，克服‘双基异化的倾向”.在过去的数学教学中，往往对一些非本质的细枝末节的地方过分地做了人为化的技巧训练.例如，对函数中求定义域过于人为化的技巧训练，还有一些意义不大的计算题重复训练等.这样的训练学生往往感到比较枯燥，渐渐地就会失去对数学的兴趣，我们对学生基本技能的训练，不单纯是为了熟练技巧，更重要的是使学生通过训练更好地理解数学知识的实质，体会数学的价值.

案例4 已知函数f(x)=x+3+1x+2,(1)求函数的定义域；(2)求f(-3),ゝ(23)的值；(3)当a>0时，求f(a),f(a-1)的值(人教A版P19例1).

此例题是由老教材P48与P49的两个例题整合改编而来：例1求下列函数的定义域：(1)f(x)=1x-2;(2)f(x)=3x+2;(3)ゝ(x)=x+1+12-x.例2已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(3),f(-2),f(a),f(a+1).

案例5 人教A版P69例1也是由原教材P76的例1与例2删减整合而成的.

从上述两个案例中例习题的整合改编我们可感悟出编者的意图就是尽量淡化求函数定义域中过于人为化的一些技巧训练以及指对数运算中减少一些没有多大意义的重复训练，其目的就是为了实现新课标提出的克服“双基异化”现象.这是广大一线教师在教学中应予重视的，切不可仍“穿新鞋走老路”，我行我素.

4.增编探究性问题培养探究能力

数学探究性学习是高中数学新课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力.人教A版教材为体现新课程的这一理念，在探究性例习题的设置上做了很大的努力，除了在一些章节后专门设置“探究”问题外，还改编和增编了很多探究性的例习题，以更好地培养学生探究能力.

案例6 探究：画出反比例函数y=1x的图像.(1)这个函数的定义域Ⅰ是什么?(2)它在定义域Ⅰ上的单调性是怎样的?证明你的结论(人教A版P33).

此探究题是由老教材P59的例3改编而来的：例3证明函数f(x)=1x在(0，+∞)上是减函数.

案例7 探究一次函数y=mx+b(x∈R)的单调性(人教A版P43习题1.3A组3).

此探究题是由老教材P60习题2.3的第1题改编而来的：分下列情况说明函数y=mx+b在(-∞，+∞)上是否具有单调性；如果有，是增函数还是减函数?(1)m>0;(2)m<0.

案例8 对于函数f(x)=a-22瑇+1(a∈R)：(1)探索函数f(x)的单调性；(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?(人教A版P91复习参考题B组第3题)，这是一道新增的探究性习题.

这种改编一方面通过观察图像，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，让学生了解这是研究函数性质的一种方法；另一方面也让学生体会数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系.教材如此改编除了上述针对学生的目的外，对我们教师来说，更重要的是需要我们改变教学方式，尽量让我们的教学能够返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态具有积极的指导意义.

5.增编新题型适应新变化

翻看人教A版教材例习题最引人注目的是增编了很多新题型，题型设置比传统教材要丰富得多，对学生能力的培养更为全面.长期以来很多新题型在各类试题中不断出现，这些新题对 学生能力的培养有独到之处，得到了广大一线教师的认可，但在传统教材中却很鲜见，导致了学与考的不一致.人教A版在这方面做了大量的工作，首先鉴于选择、填空题在培养学生的思维敏锐性、严密性方面有其独特的作用，新教材比老教材多设置了部分选择、填空题；更有意识地增编了很多能体现新课程理念，也能很好培养学生学习能力的新题型.

5.1 信息迁移题

信息迁移题是近年高考中涌现出来的热点题型.解答这类题，需要阅读并理解题目中所提供的新信息，并能加以运用.这对培养学生阅读理解新信息、接受新事物、运用新知识的能力大有裨益.

案例9 函数f(x)=［x］的函数值表示不超过x的最大整数，例如［-3.5］=-4,［2.1]