圆锥曲线定点弦的一个性质

侯典峰　杜　山

文［1］给出了圆锥曲线焦点弦的性质，本文将对此问题进行进一步的探究，得出圆锥曲线定点弦的一个性质.

定理1 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的过定点A(m,0)(0

证明：设P(x1,y1),㏎(x2,y2)，〢Q=│霜〢P撸显然λ<0,由T(t,0)知(x2-m,y2)=λ(x1-m,y1)，即x2-m=λ(x1-m),y2=λy1.

从而可知直线TP的方程y=y1x1-t(x-t)，直线TQ的方程y=y2x2-t(x-t),令x=a2m，得Ma2m,(a2m-t)y1x1-t,Na2m,(a2m-t)y2x2-t.

设直线QM与x轴的交点为S(s,0)，由Q、S、M三点共线得向量㏎S哂胂蛄开㏒M吖蚕撸从而有a2m-tx1-ty1(x2-s)=a2m-sy2，代入y2=λy1得a2m-tx1-t(x2-s)=a2m-sλ，a2m-tx1-tx2-a2m-tx1-ts=a2mλ-sλ，a2m-tx1-t-λs=a2m-tx1-tx2-λa2m,(a2m-t-λx1+λt)s=(a2m-t)x2-λa2m(x1-t),(λ-1)t+a2m-λx1s=λa2m-x2t+a2m•(x2-λx1)，

∴s=λa2m-x2t+a2m(x2-λx1)(λ-1)t+a2m-λx1.

令λa2m-x2=k1(λ-1)(1)，则将上式中x2代换成x1,λ代换成1λ后式子也成立，即得a2λm-x1=k1(1λ-1)，两边同乘λ得a2m-λx1=k1(1-λ) (2)

由(1)-(2)得λa2m-a2m-(x2-λx1)=2k1(λ-1),又x2-m=λ(x1-m),故有x2-λx1=(1-λ)m,从而a2m(λ-1)+(λ-1)m=2k1(λ-1)，显然λ-1≠0，k1=a2m+m2.令a2m-λx1=k2(λ-1),则a2m-x2λ=k2(1λ-1),λa2m-x2=k2(1-λ),两式相减得(1-λ)a2m+x2-λx1=2k2(1-λ)，即(1-λ)a2m+(1-λ)m=2k2(λ-1),k2=-(a2m+m)2.

所以s=(λa2m-x2)t+a2m(x2-λx1)(λ-1)t+(a2m-λx1)=(a2m+m2)(λ-1)t-a2m［(λ-1)m］(λ-1)t-(a2m+m2)(λ-1)=

(a2m+m)t-2a22t-(a2m+m)，即直线QM与x轴的交点为Sa2m+mt-2a22t-a2m+m,0.

同理可证，直线PN与x轴的交点也为

Sa2m+mt-2a22t-a2m+m,0,这说明直线PN、QM相交于x轴上一定点Sa2m+mt-2a22t-a2m+m,0,其横坐标与A(m,0)与T(t,0)的横坐标有关，与直线PQ的斜率无关.

类似地，可以证明双曲线和抛物线有如下定理.

定理2 双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的过定点A(m,0)(m>a)的动直线与双曲线右支交于P、Q两点，T(t,0)是x轴上一点，直线TP、TQ分别与直线x=a2m相交于点M、N，则直线PN、QM相交于x轴上一定点a2m+mt-2a22t-a2m+m,0.

定理3 抛物线y2=2px(p>0)的过定点A(m,0)(m>0)的弦PQ，T(t,0)是x轴上一点，直线TP、TQ分别与直线x=-m相交于点M、N，则直线PN、QM相交于x轴上一定点m2t,0.

参考文献

［1］王小平.有关圆锥曲线焦点弦的两个性质，高中数学教与学，2006(9).

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”