垂径定理的应用

丁广琳

垂径定理及其推论，是圆一章最重要的定理，在计算、证明、作图、生产生活等各个方面都有广泛的应用.

一、确定圆心和半径

确定圆心的常用方法有：① 用垂径定理 作任意两条弦的中垂线，这两条中垂线的交点就是圆心；② 利用垂径定理的推论 90°的圆周角所对的弦是直径，两条直径的交点就是圆心.

例1 有一块圆形木板，小军要在它的正中间打一个小孔，制一个玩具，而身边只有一块三角板（三角板的斜边大于圆的直径），你能帮他找到圆心吗？

解析： 借助三角板的直角，可以利用垂径定理的推论来确定圆心.如图1，首先将三角板的直角顶点放在圆周上任意一点，两条直角边交圆于A，B两点，则AB就是圆的直径.同样方法再得到另一条直径CD.两条直径交于O点，则O点就是要找的木板圆心.

例2 如图2，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为（－3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．

解析： 本题可以利用垂径定理解决.如图3，弦AB，BC的两条垂直平分线的交点G就是圆心.从图上可以看出，G点的坐标为（－1，0）.

二、实际应用

例3 小明不慎将家里的一块圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图4所示.为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店里去的一块玻璃碎片应该是（）.

A. 第①块 B. 第②块

C. 第③块 D. 第④块

解析： 只要知道圆上的一段弧，就可以画出两条弦，只要知道圆的任意两条弦，这两条弦的中垂线交点就是圆心，确定了圆心及半径就确定了整个圆.因此，只要带第②块就可以了.选B.

例4 如图5，有三家工厂A，B，C，它们不在一条直线上，现在三家共同出资打一口井向三家供水，要求这口井到三家的距离相等，你能帮他们设计一个方案吗？

解析： 三家的地点可以确定一个圆，水井打在这个圆的圆心上，到三家的距离相等.这就归结为作三点确定的圆的圆心.分别作线段AB，BC的垂直平分线，两条直线交于点O，则O点就是打井的地点，如图6.