例说有关圆典型问题的解法

张玉明

圆中有许多典型习题，通过这些典型习题的学习，同学们将掌握圆的相关知识.

一、有关弦、半径、圆心到弦的距离的计算

例1 如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB=90°，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，求AD的长．

解：作CH⊥AB，垂足为H.

由∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，可得AB=10.

显然AC 2=AH·AB，由此可得AH＝3.6.

由CH⊥AB，可得AD=2AH，所以AD=7.2.

答：AD的长为7.2．

评注： 解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形（可称为“径弦三角形”）——由半径R、圆心到此弦的距离d、弦长a的一半构成的直角三角形.在径弦三角形中，有R 2=d 2+ 2，所以三个量中知道两个，就可求出第三个.径弦三角形是有关圆的计算和证明的基本图形，应用广泛，同学们在学习时要特别重视.

二、圆心角、弧、弦关系的应用

例2 如图2所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF，请你找出 与 的数量关系，并给予证明．

解： = .连接OA，OB.

由OA=OB，可得∠OAB=∠OBA.

再由AE=BF，可得△OAE≌△OBF，得∠AOC=∠BOD.所以 = .

评注： 这也是一个很有趣的结论.显然，若 = ，那么AE=BF.这和“等弧对等弦”很相似.

三、圆周角定理的应用

例3 如图3，AC为⊙O的直径，B，D，E都是⊙O上的点，求∠A+∠B+∠C的度数.

解：连接AE.显然∠AEC=90°.

∴?摇∠CAD+∠EAD+∠C=90°.

显然∠B=∠EAD，所以∠CAD+∠B+∠C=90°.

评注： 如果注意到这些角所对的弧为 ， ， ，恰好组成半圆，很容易知道三角和为90°.同样，∠D+∠BEC=90°.

四、证明四个点在同一圆上

例4 求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.

已知：如图4，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.

求证：菱形ABCD各边中点M，N，P，Q在以O为圆心的同一个圆上.

证明：连接OM，ON，OP，OQ，只要能证明OM=ON=OP=OQ，就证明这四个点在同一个圆上.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，垂足为O，且AB＝BC＝CD＝DA.

又∵M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点，

∴OM＝ON＝OP＝OQ＝ AB.

∴M，N，P，Q四点在以O为圆心、OM为半径的圆上.

评注： 本题证明四点共圆的方法有普遍意义.也可以选其中三点确定一个圆，然后证明另外一点在这个圆上.

五、直线与圆的位置关系

例5 （1） 如图5，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠B，试说明AE与⊙O相切于点A．

（2） 在（1）中，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，AE还与⊙O相切于点A吗？请说明理由．

解：（1） 由AB是⊙O的直径，可得∠C=90°，∠BAC＋∠B=90°.

又由∠CAE=∠B，可得∠BAC＋∠CAE=90°，即∠BAE=90°.

∴AE与⊙O相切于点A．

（2） 连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，如图6.显然∠D＋∠CAD=90°.

由∠D=∠B，可得∠B＋∠CAD=90°.

已知∠CAE=∠B，所以∠CAE＋∠CAD=90°.

所以∠EAD=90°.所以AE与⊙O相切于点A．

评注： 证明直线和圆相切有两种基本方法：一是“作半径证垂直”，即直线和圆有公共点，连接这点和圆心，证明这条半径与直线垂直；二是“作垂线证半径”，即由圆心向直线作垂线，证明垂足和圆心连接的线段等于半径.

例6 如图7，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC．

（1） 求证：△ABC∽△POA.

（2） 若AB=2，PA= ，求BC的长．（结果保留根号）

解：（1） 由AB是⊙O的直径，可知∠ACB=90°.

因PA是⊙O的切线，故∠PAO=90°，∠ACB=∠PAO.

由BC∥OP，可得∠AOP=∠ABC.所以△ABC∽△POA.

（2） 在Rt△PAO中，PO= = .

由（1）知△ABC∽△POA，所以 = .

∴BC= = = .

例7 如图8，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圆⊙O的半径.

解：作直径AD，连接BD，作AE⊥BC，垂足为E.

则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C.

∴△ADB∽△ACE，可得AC ∶ AD=AE ∶ AB.

设CE＝x.由AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2，得132-x2＝152-（14-x）2.

解得x=5，即CE＝5.所以AE＝12.

∴ ＝ ，即 ＝ ，AD= .

故△ABC外接圆⊙O的半径为 .

例8 如图9，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，求△ABC内切圆⊙O的半径.

解：设E，D为切点，连接OE，OD.由切线的性质定理知，∠OEC=∠ODC=∠C=90°，CE=CD=OE=OD.

∴四边形ODCE为正方形.

设⊙O的半径为r，则CD=CE=r，BD=a-r，AE=b-r，所以（a-r）+（b-r）=c.

∴r= ，即△ABC内切圆⊙O的半径为 .

评注： 已知直角三角形的三边求这个三角形的内切圆的半径的公式可以直接用于解题.

例9 如图10，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A=80°，则∠BOC=（）.

A． 130°B． 100°C． 50°D． 65°

解：∵2∠OBC+2∠OCB+∠A=180°，

∴∠OBC+∠OCB= =50°.

∴∠BOC=180°-50°=130°.应选A.

评注： 当O是△ABC的内切圆的圆心时，∠BOC=90°+ ∠A.

六、两圆位置关系的识别

例10 （1） 已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）.

A． 内切B． 相交C． 外离D． 外切

（2） 如果两圆的半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆的位置关系是（）.

A． 相离B． 外切C． 内切D． 相交

（3） 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，圆心距O1O2=3，则这两圆的位置关系是（）.

A． 相离B． 外切C． 相交D． 内切

（4） 若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8 cm和2 cm，则圆心距AB为（）.

A． 10 cmB． 6 cmC． 10 cm或6 cmD． 以上答案均不对

解：此例4道题中所用到的知识点都是两圆的位置关系的判定．解决问题的关键是弄清圆心距、两圆半径与两圆位置关系之间的关系．本题答案依次是：（1） C （2） B （3） D （4） C

评注： 在同一平面内任意两圆只存在外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.同心圆是内含的特殊情况.两圆外离与内含时，两圆都无公共点；两圆外切和内切统称两圆相切；两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）．

七、有关弧长公式的应用

例11 如图11，Rt△ABC的斜边AB=35，AC=21，点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆心的圆，分别切两直角边BC，AC于D，E两点，求 的长度．

解：连接OE，OD，则四边形ODCE为正方形，∠DOE=90°.

在Rt△ABC中，BC= = =28.

由OE∥CB，得△AEO∽△ACB，故 = ，由此可得OE=12.

的长度为： =6π.

八、综合运用

例12 如图12，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于E，连接AD，BD，OC，OD，且OD＝5．

（1） 若BD ∶ AB=3 ∶ 5，求CD的长．

（2） 若∠ADO ∶∠EDO＝4 ∶ 1，求扇形OAC（阴影部分）的面积．（结果保留π）

解：（1） 显然∠ADB＝90°，AB＝10.

由 = ，可得BD=6.

由∠ADB＝90°，AB⊥CD，得BD2=BE·AB，得BE=3.6.

在Rt△EBD中，由勾股定理，得DE=4.8.所以CD=2DE=9.6.

（2） 设∠ADO＝4k°，则∠CDB＝4k°.（图12只满足（1）中的数据，对题（2）仅作参考）

由∠ADO ∶∠EDO＝4 ∶ 1，得∠EDO＝k°.所以4k+4k+k=90，得k＝10.

∴∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°.

∴∠AOC＝∠AOD＝100°.

S扇形OAC = ×π×52= π.