从算术到代数的跨越

朱　珠

同学们知道算术与代数的区别吗？看看下文就知道了.

“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数字符号化”.用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，也是代数与算术最显著的区别.

在网络上有一个十分有意思的小测试，通过这个小测试，马上就可以知道你的年龄！超准哦!我算过啦，真的很神奇，结果完全正确！快点来试试吧.（请一边读一边做）

（1）首先，在1~7中间挑选一个数字；

（2）把这个数字乘以2；

（3）然后加上5；

（4）再乘以50；

（5）把得到的数加上1 758；

（6）用得到的这个数目减去你出生的那一年份，你会得到一个三位数，第一个位数（即百位数）是你一开始选择的数字，接下来的两位数就是你的年龄.

请注意，一定要耐心地算下来，结果一定会让你大吃一惊！

其实这只是一个用字母表示数的简单问题.若你把最开始挑选的那个数字设为x（1≤x≤7），则可以列出代数式（2x+5）×50+1 758，利用小学学过的乘法分配律，得到100x+2 008，用这个数减去你出生的那一年份所得到的三位数中，第一位数（即百位数）很明显是你选择的数字，后面两位数不正是你的年龄吗？

用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相等或不等关系.具有设元意识，会用代数式表示数量关系，是由算术向代数过渡的重要步骤，是突破算术方法解决问题定式的关键.

同学们，还记得小时候你们学过的一首儿歌吧：

1只青蛙1张嘴，2个眼睛4条腿，1声扑通跳下水；

2只青蛙2张嘴，4个眼睛8条腿，2声扑通跳下水；

3只青蛙3张嘴，6个眼睛12条腿，3声扑通跳下水.

那么，如果是许多只青蛙呢？对了，就是n只青蛙n张嘴，2n个眼睛4n条腿，n声扑通跳下水.

从个别事物中发现一般性规律，这种研究问题的方法叫“归纳法”，这种方法体现着由特殊到一般的思维过程.

下面我再给大家出一道找规律的题目.

为了迎接国庆佳节的到来，某市绿城广场摆放了许多盆鲜花.下面每个图是有若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n>1，且n为正整数）盆花，每个图案花盆的总数是S.

（1）按此规律推断，当每边放有6盆花时，花盆的总数是 ；

（2）S与n的关系式是 ；

（3）当n=10时，S= .

我们很容易作出每边放有6盆花时的图案，数一数就可以了，花盆的总数是15.下面来仔细推敲一下其中的规律.

从边来看：每个图案都是三角形，同一个图案中每边上的花盆数相同，但每个图案中都会重复三个顶点.

如：当n＝2时，花盆的总数为3×2－3；

当n＝3时，花盆的总数为3×3－3；

当n＝4时，花盆的总数为3×4－3.

所以当每条边上花盆数为n时，每个图案花盆的总数为3×n－3＝3n－3.

从行来看：n表示花盆的行数，第一行的数量总是1，最后一行的数量总是每边花盆的数量n，而中间的每行只有2个，中间的行数比每边花盆的数量少2，即n－2，也就是说中间的花盆数为2（n－2）.

如：当n＝2时，花盆的总数为1＋2+2×0；

当n＝3时，花盆的总数为1＋3+2×1；

当n＝4时，花盆的总数为1＋4+2×2.

所以当每条边上花盆数为n时，每个图案花盆的总数为1＋n+2（n－2）=3n－3.

现在来求当n=10时花盆的总数就容易多了，也就是27.

上述问题中的3个小题反映了我们认识事物、探究问题的基本过程，第（1）小题是研究具体对象，第（2）小题是归纳出一般规律，第（3）小题是再运用这些规律去分析、研究和解决问题.

很早以前，非洲北部有一叫卡乐法特的地方，这里归海早王管辖 .有一次海早王打败了邻部落，要求割地，邻部落的酋长说：“割地，可以！请你用一块狼皮去包围一块土地吧！”海早王有位聪明的妻子纪塔娜，她想出了一个好方法：她亲自动手将狼皮剪成一条条很细的绳子，接起来围成一个面积最大的图形.同学们，你们先猜一猜，这个图形是什么呢？有的同学可能猜的是圆，有的同学可能猜的是正方形，那么到底是谁的面积更大呢？

运用字母表示数，就可以把这个抽象的数学问题具体化.设这条绳子的长度为C，即圆与正方形的周长都为C，则圆的半径为 ，正方形的边长为 C，圆的面积为π 2= C2，正方形的面积为 C2= C2.

因 > ，故 C2> C2.因此，圆的面积较大，它比同周长的正方形所围的面积还要大.

同学们学会用字母表示数了吗？恰当设元，运用代数关系，使书写表达更加方便，运算过程更加清晰，这就是用字母表示数的优势.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文