从猜游戏看数到式的一个飞跃

2008-11-11 10:02王继延
关键词:正整数三位数代数式

作者简介:王继延,理学硕士. 曾执教高中十余年,并任中学校长. 现为华东师范大学数学系教授,国家数学课程标准核心组成员,全国初中数学实验教科书(华东师大版)常务副主编,教育部基础司项目“全国初中毕业、升学考试评价”数学学科负责人. 作为主编或主要人员参与编写或翻译多本数学教育专业著作与教材,如《全国初中数学实验教科书》《基础教育新课程师资培训指导(初中数学)》《数学教与学研究手册》《数学教学理论选讲》《数学物理方程》《文科数学-数学思想和方法》与《高中数学选修读本》等书,在《人民教育》《数学学报》《高等数学研究》《生态学报》《数学教学》等杂志上发表多篇文章.

读者朋友,我们又见面了.上次我们结交了有理数这位好朋友,现在就请王教授带领我们一起见见新朋友——“式”.

你可要知道,这是初中数学学习的一个飞跃,好多年之前中学里学习数学时,就有“代数”之说.代数,顾名思义,就是用字母代替数.而现在有了式与式的运算,以后学习方程、函数等内容,你就会一路顺风啦!

现在先让我们一起做一个猜数游戏:你随便想一个一位正整数,扩大1倍,加上1,再加上所得结果的一半,再乘以2.将你最后得到的结果告诉我,我就可以迅速地说出你原来想的那个正整数.你相信吗?其中的道理么……还是让我们从头慢慢说起吧,说完了,你也就可以自己找到这个问题的答案了.

你是否发现,有时需要用较为简洁的语言表达一些对象.例如,我们可以说出许多偶数:2、4、6……那么如果将偶数按从小到大的顺序排列,你能否迅速报出第100个正偶数呢?总不能一个一个地数下去吧.这时可这样考虑,作为偶数,就是2的倍数,第一个正偶数2是2的1倍,第二个正偶数4是2的2倍,第三个正偶数6是2的3倍,如此类推,第n个正偶数应该是2的n倍,可以简单地写成2n的形式,那么第100个正偶数那就是2×100,即200.你看,这样多简单!

以上表示的是2的倍数,我们还可以用字母表示一个一般的三位数.若设a、b、c分别为一个三位数的百、十、个位上的数字,相信你一定可以将这个三位数表示为含有a、b、c的一个表达式 .

其实上面的表示方式,你在“有理数”一章里早就见过.那时我们讲到有理数的一些运算规律,就是那样写的:若设a、b、c均为有理数,那么就可以用如下式子表示有理数的一些运算规律: a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),ab=ba,(ab)c=a(bc),a(b+c)=ab+ac.

这里所认识的以及你自己写出来的一系列表达式,都是由数和字母用运算符号连接所成的数学式子,它们就叫做“代数式”.

实际上,这样的例子可以说生活周围处处存在,对于代数式这位朋友的认识,就和平时生活中很多事情一样,看到某一同学,就能知道他的名字;提起他的名字,就能想起他的面貌.因此,在学习中,还应能够结合实际生活经验,对于某些代数式作出相应的解释.如给出代数式 ,可以理解为:甲乙二人自相距50个单位长度的两地相向而行,而二人的速度分别为每小时a、b 个单位长度,则 即为甲乙二人见面所需花费的时间.想一想,还可以如何理解呢?

你现在可能已经注意到,代数式的面貌有很多很多,我们现在所要研究的只是其中的整式,今后你还会与其他的代数式——分式、根式等等打交道呢.而整式是最简单的,也是最基本的代数式,它又可分为单项式与多项式.以后你会一个一个地认识它们,熟悉它们的习性与脾气.

如同你们走路一样,整式的加减有一些必须要遵守的“交通法规”.由于字母所代表的就是数,所以整式的运算,实质上就是数的运算.因此整式的运算,往往最后都归结为数的运算,所依据的都是数的运算律.

例如,合并同类项,这是整式加减的基础.整式的加减运算的根据就是数的运算律(加法交换律、结合律以及乘法关于加法的分配律).

又如去括号与添括号,就可以分别理解为括号前乘以+1(括号前是“+”号)、-1(括号前是“-”号),这样就可以深入理解去括号与添括号的实质了.

说到这里,让我们回过头去,解开当初的游戏奥秘.

若设所想的数为x,那么运算过程如下图.

化简最后的结果,(2x+1)+ ×2= ×2=6x+3.你若告诉我最后的结果是45,那么所想的数肯定是……相信你,一定能够自己算出最初所想的那个数.

下面再给你提供一个数字游戏“有趣的( 3x+1)问题”,不过这是至今还没有解开奥秘的数学问题,也许你,也许你的小伙伴,经过自己的努力,终究会攀上这个数学的高峰,摘下这颗光芒四射的数学明珠.

这个“(3x+1)问题”是这样的:请你随意给出一个正整数x,若是奇数,按代数式3x+1求出对应值;若是偶数,按代数式 求值.若第一步所得结果是奇数,则继续按代数式3x+1求值;是偶数,则继续按代数式 求值.若第二步……如此继续下去,你会发现一个奇妙的现象.请你用几个不同的正整数,做做这个游戏,看看究竟有多么奇妙.

哈哈,你看,数学是多么的美!

最后用一句话结束我们今天的交流:在学习《整式的加减》时,牢记代数式中的字母是表示数的一个符号,理解了这一点,就会实现从数到式的一个飞跃,这或许就是理解掌握所学数学知识的本质所在吧.

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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