让方法成为你最真挚的好朋友

2008-11-11 10:02田献增
关键词:化简等式直径

田献增

读者朋友,解决问题需要有好的方法.可以说,方法是解决问题的一把钥匙.你说方法重要不?下面请田老师给我们介绍几个很实用的方法吧.

同学们,请思考这个问题:教室里有两位同学,他们性别相同,并且至少有一位是女生,他们是男是女?你能将上述问题改写成一个数学问题吗?

现在就让我们一起试一试吧.将教室的两位同学分别用字母a,b表示(课本中用字母表示的数,这里是用字母表示的人);把他们的性别看做数的性质符号,性别相同就是说a,b同号,结合有理数的乘法,可写为ab>0;若将女生的性别用“-”表示,至少有一位是女生且性别相同,即a+b<0.此时有:

已知a+b<0,ab>0,则a0,b0.(填“>”或“<”)

这里用到了什么方法?这就是整式中的一个重要方法——符号化方法.可以看出,引入符号化方法后,整式可以反映具有某类“事物”的本质.当然,解决整式问题的方法中还有其他一些方法,下面我们再结合实例一起回顾一下.

一、转化方法

例1与a-b+c相等的多项式是().

A.a+(b+c) B.a-(b-c) C.a+(b-c)D.c-(a+b)

解析:解答本题思路有两种.一是把a-b+c添括号后与各选项比较;二是将各选项去括号后与a-b+c比较.选B.

【友情提示】在整式的加减中,经常要根据需要,按照法则作添、去括号之间的转化.

二、类比法

例2化简:3(n-m)2-4(n-m)3+7(n-m)3-6(n-m)2.

解析:若用字母x化简代替n-m,可得3x2-4x3+7x3-6x2=-3x2+3x3,由此可用类比合并同类项的方法化简:

3(n-m)2-4(n-m)3+7(n-m)3-6(n-m)2

=(3-6)(n-m)2+(-4+7)(n-m)3

=-3(n-m)2+3(n-m)3.

【友情提示】本题除了用到类比的方法外,同时还体现了整体代换的思想.

三、整体法

例3学校准备在花园里砌一个如图1(图中两圆直径相同)所示形状的喷水池(材料用于砌池边),材料已备好.有同学提议把喷水池改为如图2所示的形状,且外圆直径与图1中的圆直径相同.你认为原来的材料够不够用?请说明理由.

解析:设图2中大圆直径为d,则其周长为πd,设三个小圆的直径分别为d1,d2,d3,则其周长之和为πd1+πd2+πd3=π(d1+d2+d3).又因为d1+d2+d3=d,所以三个小圆的周长之和恰好等于一个大圆的周长.因此,若材料损耗不计,理论上原有材料够用.

【友情提示】将d +d +d 看做一个整体来处理数学问题的这种思想方法,在解答具体问题时经常用到,不仅可使问题迎刃而解,还可使计算量大大减少.

四、归纳概括法

例4已知2+ =22× ,3+ =32× ,4+ =42× ,5+ =52× ,…,若10+ =102× 符合前面式子的规律,则a+b=.

解析:观察已知的四个等式我们发现:等式的左边是一个整数与一个分数的和,且整数与分数的分子相同,分数的分母等于整数的平方减1,等式的右边是等式左边的整数的平方与分数的积.从上述规律可知,式子10+ =102× 中,b=10,a=102-1=99,所以a+b=109.

现在就练x是一个两位数,y是一个三位数,把x放在y的前面组成一个五位数,这个五位数是,把y放在x的前面也组成一个五位数,这个五位数是 .

(参考答案:1 000x+y100y+x)

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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