让方法成为你最真挚的好朋友

田献增

读者朋友，解决问题需要有好的方法.可以说，方法是解决问题的一把钥匙.你说方法重要不？下面请田老师给我们介绍几个很实用的方法吧.

同学们，请思考这个问题：教室里有两位同学，他们性别相同，并且至少有一位是女生，他们是男是女？你能将上述问题改写成一个数学问题吗？

现在就让我们一起试一试吧.将教室的两位同学分别用字母a，b表示（课本中用字母表示的数，这里是用字母表示的人）；把他们的性别看做数的性质符号，性别相同就是说a，b同号，结合有理数的乘法，可写为ab>0；若将女生的性别用“-”表示，至少有一位是女生且性别相同，即a+b<0.此时有：

已知a+b<0，ab>0，则a0，b0.（填“>”或“<”）

这里用到了什么方法？这就是整式中的一个重要方法——符号化方法.可以看出，引入符号化方法后，整式可以反映具有某类“事物”的本质.当然，解决整式问题的方法中还有其他一些方法，下面我们再结合实例一起回顾一下.

一、转化方法

例1与a-b+c相等的多项式是（）.

A.a+（b+c） B.a-（b-c） C.a+（b-c）D.c-（a+b）

解析：解答本题思路有两种.一是把a-b+c添括号后与各选项比较；二是将各选项去括号后与a-b+c比较.选B.

【友情提示】在整式的加减中，经常要根据需要，按照法则作添、去括号之间的转化.

二、类比法

例2化简：3（n－m）2-4（n－m）3+7（n－m）3-6（n－m）2.

解析：若用字母x化简代替n-m，可得3x2-4x3+7x3-6x2=-3x2+3x3，由此可用类比合并同类项的方法化简：

3（n－m）2-4（n－m）3+7（n－m）3-6（n－m）2

=（3-6）（n－m）2+（-4+7）（n－m）3

=-3（n－m）2+3（n－m）3.

【友情提示】本题除了用到类比的方法外，同时还体现了整体代换的思想.

三、整体法

例3学校准备在花园里砌一个如图1（图中两圆直径相同）所示形状的喷水池（材料用于砌池边），材料已备好.有同学提议把喷水池改为如图2所示的形状，且外圆直径与图1中的圆直径相同.你认为原来的材料够不够用？请说明理由．

解析：设图2中大圆直径为d，则其周长为πd，设三个小圆的直径分别为d1，d2，d3，则其周长之和为πd1＋πd2＋πd3＝π（d1＋d2＋d3）．又因为d1＋d2＋d3＝d，所以三个小圆的周长之和恰好等于一个大圆的周长．因此，若材料损耗不计，理论上原有材料够用．

【友情提示】将d ＋d ＋d 看做一个整体来处理数学问题的这种思想方法，在解答具体问题时经常用到，不仅可使问题迎刃而解，还可使计算量大大减少.

四、归纳概括法

例4已知2+ =22× ，3+ =32× ，4+ =42× ，5+ =52× ，…，若10+ =102× 符合前面式子的规律，则a+b=．

解析：观察已知的四个等式我们发现：等式的左边是一个整数与一个分数的和，且整数与分数的分子相同，分数的分母等于整数的平方减1，等式的右边是等式左边的整数的平方与分数的积.从上述规律可知，式子10+ =102× 中，b=10，a=102-1=99，所以a+b=109.

现在就练x是一个两位数，y是一个三位数，把x放在y的前面组成一个五位数，这个五位数是，把y放在x的前面也组成一个五位数，这个五位数是 .

（参考答案：1 000x+y100y+x）

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文