拓展数学教学的思维方式

屈晚邺

整式是初中数学的基础内容，随着课程改革的深入，各地的中考试题中出现了许多构思新、考能力的新题型.现举例分析.

一、定义新运算

例1现规定一种运算：a*b=ab+a-b，其中a，b为实数，则a*b+（b-a）*b等于（）.

A． a2-bB． b2-bC． b2D． b2

解析：本题的关键是理解公式，并创造性的利用给出的计算公式计算（b-a）*b.对照规定运算，应把（b-a）看做一个整体，即为公式中的a，可得（b-a）*b=（b-a）b+（b-a）-=b2-ab+b-a-b=b2-ab-a，所以a*b+（b-a）*b=ab+a-b+b2-ab-a=b2-b.答案为B.

评注：创造能力不是与生俱来的，首先要学会模仿，但不是机械地模仿，还要能变通，从而才能培养出创造性的思维.

二、定义运算新程序

例2按下列程序计算，把答案写在表格内.

n→平方→+n→÷n→-n→答案

（1）填写表格.

（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．

解析：明确计算程序是解答本题的关键.（1）表格中输出的答案均为1.（2）计算程序用代数式表示为（n2+n）÷n-n（n≠0），化简：原式=n2÷n+n÷n-n=n+1-n=1.

评注：程序化也是解决问题的一种重要的思想方法，将一件事情设计一系列的程序，按照程序解决问题，从而便于问题的解决，这也是良好的思维品质的体现.

三、自编自解题

例3请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．4a2，（x+y）2，1，9b2．

解析：本题存在12种不同的作差结果，（1）4a2-1；9b2-1；4a2-9b2；1-4a2；1-9b2；9b2-4a2共6种.选4a2-9b2进行因式分解，即4a2-9b2=（2a+3b）（2a-3b）．

（2）（x+y）2-1；（x+y）2-4a2；（x+y）2-9b2；1-（x+y）2；4a2-（x+y）2；9b2-（x+y）2共6种.选1-（x+y）2进行因式分解，即1-（x+y）2=［1+（x+y）］［1-（x+y）］=（1+x+y）（1-x-y）．

评注：编题本身是一种创造性劳动，因此根据已知条件，按照课本上某一习题编拟试题，不但可以加深对解题思路的理解，而且可以培养学生的创新思维能力.

四、开放题

例4先化简（2x-1）2-（3x+1）（3x-1）+5x（x-1），再选择你喜欢的的数代替x求值.

解析：本题是整式的混合运算，要按照运算顺序依次展开，再合并同类项化成最简形式，最后可任选一个数代入求值.熟练掌握平方差公式和完全平方公式是化简本题的关键.原式=4x2-4x+1-（9x2-1）+5x2-5x=4x2-4x+1-9x2+1+5x2-5x=-9x+2.当x=1时，原式=-7.

评注：化简时要特别注意“（3x+1）（3x-1）”前的符号.

五、图形面积与乘法公式

例5从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式_____．

解析：由图甲可知，图乙边为（a+b）时，高为（a-b），则图乙的面积为（a+b）（a-b）.又图甲的阴影部分的面积为（a2-b2），通过计算阴影部分的面积可以验证公式为（a2-b2）=（a+b）（a-b）.

评注：数形结合的思想，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易．

六、探索规律题

例6观察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，….试按此规律写出的第10个式子是____.

解析：通过观察可以发现，各项的次数是从0开始按顺序排列的自然数，难点在系数，系数的规律是从第三个数起，后面的数是前面两个数的和，所以第10个式子的系数为34，即第10个式子是34x9.

评注：学数学应了解一些数学史，上面式子的系数就是著名的裴波那契数列，我们在平时的学习中要多留意.

练习： 有一个数值转换器，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是（）.