“有理数”概念和方法归纳

陈开金

学习数学需要归纳和总结，这样才能巩固和深化知识.下面请陈老师帮我们归纳“有理数”这部分知识.

“有理数”这一章主要内容是有理数的有关概念及其运算.全章从实例出发引入负数和有理数的有关概念，在此基础上学习本章的重点——有理数的运算，是进一步学习式、方程等数与代数知识的基础.

一、透彻理解本章的主要概念、法则

1．负数

在正数前面加上“-”号表示的数叫负数；或定义成比0小的数叫负数.

注意：不能笼统地说带有负号的数叫负数.例如，当a为0时，-a表示0；当a本身是负数时，-a表示正数.

2.数轴

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴.利用数轴可直观地理解相反数、绝对值，以及有理数的加法法则与乘法法则.这是数学上常用的数形结合思想.

注意：任意一个有理数可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点却未必都表示有理数.

3.绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

注意：①有理数由性质符号和绝对值两部分构成.性质符号和绝对值确定后，这个有理数也就完全确定.因此，我们在后面进行有理数的加、减、乘、除和乘方运算时，都是分为两步：先确定符号，再确定绝对值.

②由于距离最小为0，所以绝对值不可能为负数.

③正数的绝对值是它本身.但反过来，绝对值等于它本身的数却未必是正数，还可能是0；同样，如果一个数的绝对值是它的相反数，这个数可能是负数，也可能是0.

4．相反数

只有符号不同的两个数叫互为相反数.一般地，a的相反数记为-a.特别地，0的相反数是0.引入相反数，使得加减这一对逆运算的统一成为可能.

注意：①“只有符号不同”意味着绝对值相同；②若a与b互为相反数，则a+b=0；反过来也对.

5.倒数

乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数.

注意：互为倒数的两个数符号相同；写一个整数n的倒数时，直接写成1/n；写一个分数的倒数时，直接把它的分子分母调换位置；小数需要先化成分数再写它的倒数.

6．有理数运算

理解算理：在探究有理数法则时，要善于利用实际意义理解运算的结果，还要善于利用数轴来理解相关运算的结果.

理解法则：分两类，一是直接运算法则，二是转化为逆运算的法则.

有理数加法、乘法、除法运算都可以直接计算，分两步进行，在确定符号的基础上，进行绝对值运算.相关法则也分两部分，一是符号法则，二是绝对值运算法则.

有理数加法与减法互化要利用相反数，有理数乘法与除法互化要利用倒数.

二、灵活运用解题方法

（一）如何比较两个有理数的大小

符号不同的数直接确定大小：正数大于0，0大于负数，正数大于负数.符号相同的数用绝对值比较：两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的反而小.用数轴来比较：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.用求差法来比较：若差为正数，则被减数比减数大；若差为0，则被减数等于减数；若差为负数，则被减数小于减数.

（二）如何运用运算律简化有理数运算

1．有理数加减混合运算的顺序

把加减法统一成加法→把加法算式写成省略括号和加号的代数和的形式→运用交换律和结合律简化运算.

在最后一步中注意把正数、负数分别相加；把同分母的分数相加；把互为相反数的两个数相加；把相加得整数的数相加；把各数减去一个相同的基数再相加……可以有效简化运算.

2．有理数乘法运算的顺序

先确定积的符号，再把绝对值相乘：几个不等于0的有理数相乘时，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.

在实际运算时，利用交换律和结合律，把互为倒数的两个数相乘；把可以约分的分数先约分，再相乘；把乘积为整数的几个因数相乘.以上方法都可以简化乘法运算.

3．有理数除法运算法则的选用

当被除数与除数能整除时，先确定符号，再把绝对值相除；当被除数与除数不能整除时，先把除法转化为乘法，然后利用有理数的乘法法则来计算.

4．有理数的乘方运算的顺序

把乘方运算转化为乘法运算是常见思路，但未必是最简单的思路.如果利用“正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数”先确定幂的符号，再求幂的绝对值，会使运算简单且不易出错.

三、善于发现和归纳规律，解决新问题

问题已知a_n=（-1）ⁿ+1，当n=1时，a₁=0；当n=2时，a₂=2；当n=3时，a₃=0；……则a₁+a₂+a₃+…+a₂8的值为 ．

依次计算不难发现，当n依次取1，2，3，4，5，6，…时，对应的a_n=（-1）n+1的值依次为0，2，0，2，0，2，…，可以发现0与2交替出现，故a₁+a₂+a₃+…+a₂8的值不用一一计算，就可以直接得出结果为28.解决这类问题，需要先算出前面部分的数，然后仔细寻找数与数之间规律，寻找规律是解决这类题的关键.