结交新朋友 融入数的大家庭

作者简介：王继延，理学硕士. 曾执教高中十余年，并任中学校长. 现为华东师范大学数学系教授，国家数学课程标准核心组成员，全国初中数学实验教科书（华东师大版）常务副主编，教育部基础司项目“全国初中毕业、升学考试评价”数学学科负责人. 作为主编或主要人员参与编写或翻译多本数学教育专业著作与教材，如《全国初中数学实验教科书》《基础教育新课程师资培训指导（初中数学）》《数学教与学研究手册》《数学教学理论选讲》《数学物理方程》《文科数学-数学思想和方法》与《高中数学选修读本》等书，在《人民教育》《数学学报》《高等数学研究》《生态学报》《数学教学》等杂志上发表多篇文章.

读者朋友，你学习有理数后有什么收获和困惑？下面请王教授给你指点指点吧.

亲爱的同学，你现在已经进入了奇妙的数学世界！推开第一道门，映入眼帘的是“有理数”三个大字，在那里你首先会遇到一位生活中经常遇到和用到的新朋友——负数.

你可能曾站在足球场边，为你们班级欢呼叫好：“3∶1，赢了！”那时，你或许已注意到，从数量的含义看，进3个球与失1个球中，“进”与“失”的意义恰好相反.

你可能曾与你的爸爸妈妈一起，观看电视播出的新闻与天气预报.那时，你或许已注意到，有时某地某一天的气温变化范围是零上10度到零下2度.从温度计上看，“零上”与“零下”的方向恰好相反.

这样的例子太多了！试试看，找出与下面一些量具有相反意义的量：

行走时的“向东”与“_____”，水位的“_________”与“下降”，经济上的“收入”与“_______”.

数学是最讲究简洁明了的，要表示这些具有相反意义的量，看来只用小学所学过的数是不够了，那就要将数的大家庭扩大，请来一位新成员——“负数”.这样从数量上看，零上10度记为“＋10”的话，零下2度就可记为“－2”；进3个球记为＋3，失1个球可记为－1；向东行走100米记为＋100，向西50米可记为－50.

我们将这位新朋友负数与你小学里学过的正整数、零和正分数，合在一起，称之为“有理数”.数的大家庭又增添了一位新成员，变得更为丰富了.你也有了一位新朋友，他一定会成为你的得力助手.

“有理数”有什么特征呢？

我们将温度计横过来，显然零上10度的位置在零度点的右方10个单位处，而零下2度就应该在零度点的左方2个单位处.由此我们可以画一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，也就是所谓的“数轴”，在数轴上表示那些有理数，如下图.

引入了数轴，你一定可以解决如下有关有理数与数轴上点的关系的一些问题了：

表示－3的点，应在原点的____边______个单位处；表示7的点，应在原点的______边_____个单位处，并在数轴上加以表示；到原点的距离等于4的点有______个，它们表示的数是__________，并在数轴上加以表示.

相信你已经注意到，有理数在数轴上所表示的点，是一个带有方向与距离的点.对应到有理数本身，那就是符号（正负号）与绝对值.符号（正负号）对应了方向，正的在原点的右方，负的在原点的左方.绝对值（大小）对应了该点与原点的距离.现在你对这位新朋友一定更为了解了吧，有理数与你小学学习的数有所不同，他穿上了一件符号（正负号）的外衣，因而还存在一个相反数的概念.

掌握了有理数的特征，你就可以将有理数“从小到大”排队.从数轴上表示的有理数看，一个总的原则是：左边的点对应的有理数总小于右边的.

相信你，一定可以找到运用符号与绝对值比较有理数大小的具体方法.现在有7位小朋友手里分别举着标有如下有理数的牌子，你能将它们按从小到大的顺序排成一队吗？

3.14，0，-17/3，2.7，－5.6，－0.05，0.24.

有理数与小学学习的数一样，也有它们的四则运算以及一定的运算法则与规律.有些是类似的，有些是有一些区别的.对于加法，你可以从自己的行走，或者球队的进球与失球，归纳出运算法则；对于减法，按通常的理解，减法是加法的逆运算，从而可得到减法的运算法则.

至于乘法运算法则的导出，有各种推理归纳的方法.相信你一定会记住最关键的一条：一个有理数乘以＋1还是它自身，乘以－1就变成它的相反数；对于除法，与减法一样，它是乘法的逆运算，容易导出它的运算法则.

我国古代的洛书中，有一幅三阶幻方图，如图1.上面填着从1到9九个自然数，每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于15.太奇妙了，你看，我们的祖先是多么的聪明和伟大！

现在让我们沿着祖先的脚步，改变一下，尝试解决下面的问题：

将绝对值小于5的整数填入如图2的三阶方阵，使得每行、每列以及每条对角线上各数之和都等于零.

有理数的四则混合运算，可能会给你带来一些麻烦.但这对已经理解掌握有理数的特征与运算法则的你，应该说都可以克服解决.数学学习，就像一个人走路一样，不可能不遇到障碍，跨过了一道坎，就是一个胜利，你的本领与能力，就是在跨过一道道坎的过程中，得到了提升，最终实现飞跃！

最后还要告诉你的是，现代信息技术的高度发展，给我们提供了一些有用的工具.除了你们学校所具备的电脑外，一个便于携带的计算器已经成为学习数学的得力助手.有了计算器，你可以避开那些十分烦琐的运算，集中精力，更高效地学习数学.

你看，数学世界是那么有趣，丰富多彩.让我们一起，结识更多的朋友，寻找更具魅力的奥秘吧.

请你思考下面这个问题：

有一位作家，他有一个稀奇古怪的毛病.他写作品写得越是接近结尾，就写得越慢.他着手写一部作品的时候，每天的写作量同余下要写的页数成比例（每当余下要写的页数不是整数时，总是用进一法化为大于它且最接近它的那个整数）.例如，对于某一本书来说，他写第一页用了10天时间，但写最后一页却要用50天时间.这本书有多少页？他要用多少天才能写完？