实数大小巧比较

陈鹏飞

“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识必不可少的基础．实数的大小比较又是中考及数学竞赛的常见题型，不少同学感到困难．为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考.

一、数轴比较法

根据数轴的性质“实数与数轴上的点一一对应”，“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”，利用数形结合来进行比较.这种方法特别适用于同时比较多个实数的大小.

例1用“＜”连接下列各数：-，0.4，-，0，2 ，-，- 2.5.

解析:将以上各数在数轴上表示出来，图略.

根据“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”，得

- 2.5 ＜ - ＜ - ＜ 0 ＜ 0.4 ＜ - ＜ 2 .

二、法则比较法

根据实数大小比较法则“正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小”来进行比较，这是比较实数大小最常用的方法.

例2在下列两个数之间填上适当的不等号.

（1） - ；（2） -－ .

解析:（1）因为 - ＜ ０，＞ ０，根据正数大于一切负数，得到- ＜．

（2）-≈1.57，-≈1.4１.

由于1.57 ＞ 1.4１，根据“两个负数，绝对值大的反而小”得到 - ＜ - .

三、分子（分母）比较法

比较分数大小时，根据正数间“分子（分母）相等，分母（分子）大的反而小（大）”来进行比较.

例3用“＜”连接下列各数：-，-，-，-.

解析:本例若将各数化成同分母，运算量很大，过程复杂烦琐，可考虑将它们化成同分子来比较：- = -，- = -，- = -．由于＞ ＞ ＞，再根据两个负数绝对值大的反而小，得

- ＜ - ＜ - ＜ -，即 - ＜ - ＜ - ＜ -.

四、作差比较法

根据“当a - b ＞ 0时，a ＞ b；a - b = 0时，a = b；a - b ＜ 0时，a ＜ b”来比较.

例4在下列两数之间填上适当的不等号．

（1） ；（2）3 -- 2．

解析:（1）因为作差比较有- = === -＜ 0，所以＜．

（2）因为（3 -） - （- 2） = 5 - 2= （-）2 ＞ 0，所以3 - ＞ - 2.

五、作商比较法

根据“a，b均为正数.当＞ 1时，a ＞ b；当= 1时，a = b；当＜ 1时，a ＜ b”来比较.

例５在下列两数之间填上适当的不等号．

（1） --；（2）--.

解析:（1）由÷ = × ＝ ＜ 1，得＜．再根据两个负数绝对值大的反而小，得 - ＞ -．

（2）

六、倒数比较法

根据两正数间“若＞，则a ＜ b”来比较两实数的大小.

例6在下列两数之间填上适当的不等号．

解析:（1）= 10 +，= 10 +．

由于＞，所以＞.则＜，再根据两个负数绝对值大的反而小，得到 - ＞ -.

（2）= ＋，

七、加数比较法

根据“由a + c ＞ b + c可得a ＞ b”来比较两实数的大小.

例7用“＜”把下列各数连接起来：- ，- ，- ，- .

解析:由于所给各数的绝对值都与1比较接近，所以将各数都加上1，得到

- + 1 =， - + 1 =， - + 1 =，- + 1 =.

显然＜ ＜ ＜，所以 - ＜ - ＜ - ＜ -.

八、指数（底数）比较法

根据“a ＞ b ＞ 0，ｎ为正整数，则an ＞ bn”或“若N ＞ 1，a ＞ b，则Na ＞ Nb”比较两实数的大小.

例8（1）350，440，530的大小关系为（）.

A. 350 ＜ 440 ＜ 530 B. 530 ＜ 350 ＜ 440

C. 530 ＜ 440 ＜ 350 D. 440 ＜ 530 ＜ 350

（2）8131，2741，961的大小关系为（）.

A. 8131 ＜ 2741 ＜ 961 B. 8131 ＜ 961 ＜ 2741

C. 2741 ＜ 961 ＜ 8131 D. 961 ＜ 2741 ＜ 8131

解析:（1）化成同指数，通过比较底数的大小来比较幂的大小.

350 = （35）10 = 24310，440 = （44）10 = 25610，530 = （53）10 = 12510.

因为25610 ＞ 24310 ＞ 12510，所以530 ＜ 350 ＜ 440．

故应选B.

（2）化成同底数，通过比较指数的大小来比较幂的大小.

8131 = （34）31 = 3124，2741 = （33）41 = 3123，961 = （32）61 = 3122.

因为3124 ＞ 3123 ＞ 3122，所以961 ＜ 2741 ＜ 8131．

故应选D.

九、中间值比较法

根据“若a ＜ b，b ＜ c，则a ＜ c”来比较两实数的大小.

例9比较 -1与 +1的大小．

解析: - 1 ＜ - 1 = 45 - 1 = 44，+ 1 ＞+ 1 = 43 + 1 = 44.

所以- 1 ＜ + 1.L

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”