“数的开方”错解剖析

刘书妹

数的“开方”运算是同学们学习中继“加、减、乘、除、乘方”五种运算后的又一种运算，也是初中阶段需要掌握的一种重要的运算. 由于开方运算的特殊性，例如开平方运算中被开方数取值范围的限制、平方根运算结果的不唯一性等，容易导致同学们在进行开方运算时犯错误. 下面针对同学们常犯的错误进行剖析，希望同学们引以为戒.

一、概念理解不清

例1判断：

（1） 无理数都是无限小数.（）

（2） 带根号的数都是无理数.（）

（3） -3是9的平方根.（）

错解：（1） ×（2） √（3） ×

分析：（1）错解原因在于对无理数的概念理解不清，分不清无限小数与无理数的关系.由无理数的定义“无限不循环小数叫做无理数”，可知无理数是无限不循环小数，因此无理数都是无限小数. 注意分清无限小数与无理数的范围，无限小数范围大，无理数范围小，无理数属于无限小数，但无限小数不一定是无理数.

（2） 判断无理数的根据是无理数的概念，而不是数的表面形式. 带根号的数分两种情况：一种是被开方数能开方开尽的，是有理数，如= - 3，则 是有理数；另一种是被开方数是开方开不尽的（是无限不循环小数），是无理数，如 不能再化简，因此是无理数. 所以此题的说法错误.

（3）错解原因在于对平方根的定义不能正确理解. 根据平方根的定义，“如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根”，因为（ - 3）2 = 9， 所以 - 3是9的平方根，因此此题正确. 同理，3也是9的平方根，也可以说3与 - 3 都是9的平方根. 但反过来，只能说9的平方根是3与 - 3（此时必须是两个）.

正解：（1） √（2） ×（3） √

点评：对于数学中的定义，一定要抓住其要点，准确理解，这样才能在有关概念的判断题中作出正确判断.

二、符号认识不清

例2填空：如果 的平方根是 ± 3，那么a = .

错解：9.

分析：由于9的平方根是 ± 3，因此= 9，即a的算术平方根是9，而不是a是9，所以a = 81. 同学们产生错误的原因在于没有认真审题，对算术平方根的符号认识不清，混淆了a与 .

正解：81.

三、性质理解不清

例3填空：的平方根是 .

错解：3.

分析： 表示729的立方根，= 9，9的平方根是 ± 3，即 的平方根是 ± 3. 错误的原因是对平方根的性质理解不透，由于互为相反数的两数（非零）的平方相等，所以正数有两个平方根，它们互为相反数，即正数开平方运算的结果有两个，这一点一定要记清.不少同学往往容易丢掉负的平方根，而导致解题结果不完整.

正解： ± 3.

例4若（a2 - 3）2 + b2 - 5 = 0， 分别求a，b的值.

错解：由题意，得a2- 3 = 0，b2 - 5 = 0.

解得a = ≈ 1.73，b =≈ 2.24.

分析：此题解法的错误之一是丢掉了负的平方根，错误之二是将结果取近似值，实际上此题对于最后的结果没作要求，不必求出结果的近似值，应取准确值.

正解：由题意，得a2 - 3 = 0，b2 - 5 = 0.

解得a = ±，b =±.

四、忽视被开方数的取值范围

例5解方程 • - 2 = 0.

错解：化简，得x - 2 = 0.

故x = 2.

分析：错解原因在于忽视算术平方根中被开方数的取值范围为非负数.此题中由x - 3 > 0知x > 3.所以x = 2不是方程的解.

正解：方程无解.L

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”