正方形的开方问题

冯金枝

我们以前学习过正方形面积公式，知道如何去求一个正方形的面积，但反过来，如果给出一个正方形的面积，我们就不知道该怎么去求它的边长了.现在学习了平方根的知识后，我们就可以解决这个问题了.

例1小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3 ∶ 2.不知能否裁出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

解： （假设能裁出符合要求的长方形纸片）设长方形纸片的长为3xcm ，宽为2xcm.根据边长与面积的关系得

3x•2x=300，

6x2=300，

x2=50，

x= .

因此长方形纸片的长为3 cm.

因为50>49，所以 >7.

由上可知3 >21，即长方形纸片的长应大于21 cm.

已知正方形纸片的边长只有20cm，这样，要裁出的长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长，这是不可能的.

故不能裁出符合要求的长方形纸片.

答：不同意小明的说法.小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.

评析：这道例题是平方根知识在实际问题中的应用，同学们一般会认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片，解完了这道题后同学们该明白平方根知识的用处了吧！解题过程中给出了一种常见的用有理数估计无理数的方法，这种方法是利用与被开方数最接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小，这种估算能力是同学们以后学习过程中必须具备的能力.

例2小明的房间面积为10.8m2，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？

解： 房间的面积为10.8m2，也就是120块相同正方形地砖的面积之和为10.8m2，那么1块正方形地砖的面积为：

10.8÷120=0.09（m2）.

故每块正方形地砖的边长为：

=0.3（m）.

答：每块正方形地砖的边长为0.3m.

例3（1） 用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，你会怎样剪？

（2） 根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗？

解： （1）设正方形纸片的边长为a cm，则

a2 = 400，

a = ±

=± 20.

由于负值不合题意，应舍去，故正方形纸片的边长为20 cm.

要剪出面积为300 cm2的长方形纸片，可以以正方形纸片的边长20 cm为长，剪去一定宽度的长方形纸片而得.

设剪去的长方形纸片的宽为 xcm，则

20•（20-x）=300，

400-20x=300，

20x=100，

x=5.

所以只要剪掉长为20 cm，宽为5cm的长方形纸片，剩下的就是长为20 cm，宽为15 cm的长方形纸片，它的面积为300 cm2，这样就可得到符合要求的长方形纸片了.

（2）由前面例1和本题（1）可知：在有要求的前提下，利用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸片.L