关注反比例函数与一次函数的综合题

张　雷

反比例函数是中考命题的主要考点，近几年中考试卷中出现了不少将反比例函数与其他函数、几何图形、方程（组）等综合编拟的解答题.其中，将反比例函数与其他函数综合命题是中考命题的新动向.

例1已知正比例函数y = kx与反比例函数y = 的图象都过点A（m，1），求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标．

分析：由A点坐标满足y = 可求得m值，再将A点坐标代入y = kx可求得正比例函数解析式，联立方程组可求得另一交点坐标.

解：因y = 的图象过A（m，1），即1 = ，故m = 3，即A（3，1）．将A（3，1）代入y = kx，得k = ，所以正比例函数解析式为y = x．

联立方程组，得y =

，

y =

x，解得x1 = 3，

y1 = 1或x2 =- 3，

y2 = - 1.

故另一交点坐标为（- 3，- 1）．

点评：解此类题时，一般是先构造方程或方程组，再来解决问题.

例2如图1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线．直线AB与双曲线的一个交点为C，CD垂直x轴于点D，OD = 2OB = 4OA = 4．求一次函数和反比例函数的解析式．

分析： 由已知三条线段之间的关系，可求得A、B、C三点的坐标，由此利用待定系数法求出函数解析式.

解：由已知OD = 2OB = 4OA = 4，得A（0，- 1）、B（- 2，0）、D（- 4，0）．

设一次函数解析式为y = kx + b.点A、B在一次函数图象上，所以b = - 1，

- 2k + b = 0，即k = -

，

b = - 1.则一次函数解析式是y = -x - 1.

点C在一次函数图象上，当x = - 4时，y = 1，即C（- 4，1）．

设反比例函数解析式为y = ．点C在反比例函数图象上，则1 =，得m = - 4．故反比例函数解析式是y = - ．

点评：反比例函数和一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等条件，这些几何图形的边长常常与某些点的坐标相关.这类题体现了在知识交汇处命题的特色.

例3如图2，反比例函数y = 的图象经过点A（- ，b），过点A作AB垂直x轴于点B，△AOB的面积为.

（1） 求k和b的值.

（2） 若一次函数y = ax + 1的图象经过点A，并且与x轴相交于点M，求AB ∶ OM的值.

分析：以面积为突破口，可求出A点纵坐标b和系数k，结合A点的双重特性（A点既在直线上，又在反比例函数图象上）求解相应问题.

解：（1）∵AB⊥BO，A点坐标为（- ，b），

∴ S△AOB = AB·BO = ，即b · ｜ - ｜ = .

∴ b = 2.

又点A在双曲线y = 上，

∴k = 2 × （- ） = - 2.

（2）∵点A在直线y = ax + 1上，

∴ 2 = - a + 1.

∴ a = - .

∴ y = - x + 1.

当y = 0时，x = .所以M点的坐标为（，0）.

∴ AB ∶ OM = 2 ∶ .

点评：纵观近年来的中考试题，关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合，做题时常利用交点的双重特性来构造方程（组）解决问题.

例4Rt△ABC中，∠A = 90°，∠B = 60°，AC = ，AB = 1.将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数y = 的图象上，求点C的坐标．

分析：通过画图可发现，点A的位置有2种情况（在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上），点B、C的位置也有2种情况（可能点B靠近原点，也可能点C靠近原点），解题时要注意利用反比例函数图象的对称性．

解：本题共有4种情况．

（1）如图3，过点A作AD⊥BC1于D，

∵ AB = 1，∠B = 60°，

∴ BD = ，AD = .

∴ 点A的纵坐标为．将其代入y = ，得x = 2，即OD = 2．

在Rt△ABC1中，DC1 = 2 -= .所以OC1 = ，即点C1的坐标为

，0．

根据双曲线的对称性，得点C3的坐标为

-，0.

（2）如图4，过点A作AE⊥BC2于E，则仿（1）可求得AE = ，OE = 2，C2E = .

所以OC2 = ，即点C2的坐标为

，0．

根据双曲线的对称性，得点C4的坐标为-

，0．

所以点C的坐标分别为：

，0、

，0、

-，0、-

，0．

点评：根据题意，进行分类，是解决本题的突破口．此题涉及与反比例函数相关的许多问题，能较好地展示同学们的思维过程和思维方式，考查同学们灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力，具有较好的选拔功能．

[即学即练]

1. 如图5，反比例函数y = - 与一次函数y = - x + 2的图象交于A、B两点．

（1） 求A、B两点的坐标.

（2） 求△AOB的面积．Y