不等式（组）错解剖析

王尧兴　等

不等式（组）是初中代数的重要内容，理解不等式（组）的解与解集的意义，灵活运用不等式的基本性质，是正确解决不等式（组）问题的关键.同学们在解决这部分问题时，往往会出现一些错误，现将易出现的错误归类剖析如下，以帮助同学们提高认识，不犯类似的错误.

1. 性质不清

例1判断下列说法是否正确.

（1）若a>b，则ac2>bc2.（2）若ab>c，则a>.

（3）若a-b>a，则b>0.（4）若ab>0，则a>0，b>0.

【错解】（1）因为c2>0，故ac2>bc2正确.

（2）不等式两边同除以b，得a>，故正确.

（3）不等式两边同时减去a，再同乘以-1，得b>0，故正确.

（4）根据同号相乘得正的法则可知这种说法正确.

[剖析：]上述解答的错因主要是对不等式的基本性质理解不清，或者是对问题所涉及的范围未作全面分析.

【正解】（1）不正确.当c=0时，ac2=bc2.此处应注意，若ac2>bc2，则a>b，这里隐含了c≠0的条件.

（2）不正确.若b<0，则要改变不等号的方向；若b = 0，则不等式两边不能同除以b.

（3）不正确.根据不等式的基本性质1，不等式两边都减去a，得-b>0.再根据不等式的基本性质3，不等式两边同乘以-1，不等号的方向改变，得b<0.

（4）不正确.ab>0，则a、b同号，可能是a>0，b>0，但也可能是a<0，b<0.

[点评：]利用不等式的性质解题时，要注意不等号的方向是否变化，分析同乘以（或除以）的那个数的符号特征，并善于用特征推证命题的正确与否.

2. 去分母时漏乘某一项

例2解不等式-1<.

【错解】去分母，得x+5-1<3x+2.

移项，合并同类项，得-2x<-2.

两边同除以-2，得x>1.

[剖析：]去分母时，不等式左边的-1没有乘以2.

【正解】不等式两边同乘以2，得

2 ×

-1<2 × .

化简，得x+5-2<3x+2.解得x>.

[点评：]去分母时，根据不等式的性质，不等式两边同乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项.

3. 不明题意

例3求不等式≥-1的非负整数解.

【错解】去分母，得3-x≥-2.

移项并合并同类项，得-x ≥-5.

两边都除以-1，得x ≤ 5.

故原不等式的非负整数解为1，2，3，4，5.

[剖析：]非负整数包括正整数和0，错解漏掉了非负整数中的0.

【正解】解不等式的过程同上，原不等式的非负整数解为0，1，2，3，4，5.

[点评：]解题时要弄清题目中所要求的内容，不要大意.

4. 考虑不仔细

例4关于x的不等式组x ≥ 3，

x ≤ m无解，则m的取值范围为.

【错解】填 m ≤ 3.

[剖析：]当m = 3时，不等式组x ≥ 3，

x ≤ m存在公共部分x=3，因此必须排除m=3.

【正解】填m<3.

[点评：]由不等式组有解（或无解），求待定字母的取值范围时，一定要考虑全面.尤其是端点的值能否取等号，需要特别加以考虑，以确保不重不漏.

5. 忽略隐含条件

例5一辆有12个座位的小型公共汽车上已有4名乘客，到一个站后又上来x名（x可以等于0）乘客，此时车上仍有空座位.试判断x可以取哪些值.

【错解】根据题意可得不等式x+4<12.

解得x<8.故x可以取小于8的任意数.

[剖析：]这道题中的x是又上来的乘客的人数，应该是自然数，所以这道题隐含了x是自然数这个条件.

【正解】x可以取小于8的自然数.

[点评：]求实际问题中某个量的取值范围时一定要注意，要考虑使实际问题有意义.

6. 理解偏差

例6甲、乙两队进行足球比赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.两队一共比赛了10场，甲队保持不败，得分超过22分.甲队至少胜了多少场？

【错解】设甲队胜了x场.

根据题意，得3x+（10-x）>22.

解得x>6.故甲队至少胜了6场.

[剖析：]解答中前面的部分都正确，错在最后一步.

因为x>6并不包括6，根据题意，满足x>6的最小整数为7.

【正解】解题过程略，甲队至少胜了7场.

[点评：]在具体问题中，要根据一些关键词（如超过、不足、以外、打破纪录等）所蕴含的不等关系列出不等式（组），在求出不等式（组）的解集后，应仔细考虑题目的要求，写出合理的答案.要特别注意“至少”、“超额”等关键词语的含义，然后找出符合题意的正确答案.

【责任编辑：潘彦坤】

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