破译点阵中的特殊三角形

吴延树

纸上给定几个点，你能画出特殊的三角形吗？试试看！

问题1纸上画出5个点，任意3个点组成的三角形都是等腰三角形，问这5个点该怎样放.画出你认为可能的一种情况.

探究过程：有的同学可能马上联想到正方形的四个顶点和它的中心（对角线的交点）这5个点，如图1，但有的三点（如点A、O、C）因共线（即三点在一条直线上）不能组成三角形，所以否定此种情形；也有的同学画出了一个正方形和其边长相等的一个等边三角形，按如图2所示的两种情形进行了拼接，确实有几组三个点能够组成等腰三角形（如等腰三角形PCD、APB等），但也有几组三个点（如点P、B、D等）不能构成等腰三角形，故也不符合题意.同学们经过冥思苦想、多方验证，发现正五边形的五个顶点恰好符合题意（如图3）.还有其他的情形，不过我们所学知识有限，以后会明白的.

问题210个点如图4所示那样放置.把这些点作为三角形的顶点，可画多少个正三角形？至少应当去掉多少个点，才能使得留下的任何三点都不能组成一个正三角形？

探究过程：依次连接各点，如图5.若把相邻的两点之间的距离设为1个单位长度，那么可分类如下：

边长为1的正三角形的个数为：1+3+5=9；

边长为2的正三角形的个数为：1+2=3；

边长为3的正三角形的个数为1；

边长为BH或CD的正三角形个数为：1+1=2