从一道中考题谈起

房延华

题目（2007年聊城市中考题）有下列四组正多边形地砖：①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形．将每组中的两种多边形地砖结合，能进行镶嵌的是（）．

A． ①③④ B． ②③④

C． ①②③ D． ①②④

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]平面图形的镶嵌是多边形在现实生活中应用价值的体现，也是开发、培养我们创造性思维的一个重要渠道.本题涉及镶嵌的原理、多边形的角、整数的性质等问题．

解：用两种正多边形地砖进行镶嵌，符合条件的组合有多种，如正三角形与正六边形、正三角形与正方形、正方形与正八边形等.应选D.

下面以正三角形与正六边形组合镶嵌为例进行探究.

设在一个重合的顶点周围有m个正三角形的角，有n个正六边形的角，那么m、n应是方程m·60°+n·120°=360°，即m+2n=6的正整数解.易得m=2，n=2；m=4，n=1.

当m=2，n=2时，其镶嵌图案如图1.请同学们自己画出当m=4，n=1时的图案．

对于正方形与正六边形，假设它们能够镶嵌，设在一个重合的顶点周围有m个正方形的角，有n个正六边形的角，那么m、n应是方程m·90°+n·120°=360°，即3m+4n=12的正整数解.易知该方程没有正整数解，所以正方形与正六边形不能组合镶嵌.

我们还可以进行下面的探究.

探究1：只用一种正多边形镶嵌的情形.

假设正多边形有n条边，镶嵌图案中一个重合的顶点周围正多边形内角的个数为m，那么正多边形一个内角的大小为．根据镶嵌图案的特点——在一个重合的顶点周围各多边形的内角的和是360°，得m·=360°.化简，得m（n-2）=2n.其正整数解共有三组：m=6，n=3；m=4，n=4；m=3，n=6.

也就是说，若仅用一种正多边形镶嵌，符合条件的只有正三角形、正方形和正六边形.其相应的镶嵌图案如图 2所示．

探究2：用三种以上的正多边形镶嵌，且一个重合的顶点周围每种正多边形只有一个的情形.

我们先来研究一下用三种不同的正多边形镶嵌.分别设正多边形的边数为n1、n2、n3，根据镶嵌的特点，有++=360°．

整理，得++=．

满足此方程的三种正多边形的边数组合共有6组：①3，7，42；②3，8，24；③3，9，18；④3，10，15；⑤4，5，20；⑥4，6，12．

图3为正方形、正六边形、正十二边形组成的镶嵌图案.

用四种、五种、六种不同的正多边形镶嵌，有如下关系：+++…+=（m=4，5，6），nm表示正多边形的边数．这个关系式是怎么得来的？它能适用于更多种不同的正多边形镶嵌的情形吗？请你自己探索.