让认知结构具有生长活力

当前，小学数学复习课依然普遍存在追求大容量、高“密度”的“狂轰滥炸”现象，教师讲得累，学生练得苦，教学效果却不尽如人意。许多教师感觉到“学习好的学生复习和不复习一个样，看不出提高；学困生则越复习越差，甚至连一些原来能够独立解决的简单问题也不会解了”，“多数学生程度不等地产生了厌学情绪，课堂气氛沉闷，学习缺少热情”。数学复习课这种近乎是“满堂灌”和“题海战”的现状亟待改变。

复习课应放大核心知识的作用

在小学数学的知识体系中，处于基础地位的数学核心知识，是为数不多的最基本的概念、原理、法则、性质、公式和数量关系等，其他知识都是以此为基础推演出来的。这些核心知识在背景材料、数学思想等方面包含了丰富的信息，因而适用范围广，自我生长和迁移能力强，是保持教学内容前后连贯和一致的重要纽带。

研究表明，加强数学核心知识教学，有利于沟通知识之间的联系，提高复习的效果。所以，小学数学复习课不应该将知识人为地肢解，在知识的细枝末节上做过多拓展，更不能机械地搞文字游戏式的题海战术，试图通过大运动量的训练来提高学生的考试成绩。我们应该想方设法放大核心知识的作用，进一步厘清其内涵和外延、在小学各个阶段的呈现形式、各种变式以及相互之间的联系，并以其为中心拓展开来，发散开去，为学生提供一以贯之的思维方式和解题策略，从而使学生进一步从整体上掌握基于核心知识的纵横联系和层次结构，形成和完善以核心知识为联结点的具有生长活力的认知结构，体验和领悟数学知识的连贯性和思想方法的一致性。正如布鲁纳所说，用基本的、一般的观念来不断扩大和加深知识，应当成为教育过程的核心。“一门课程在它的教学过程中，应反复地回到这些基本观念，以这些基本观念为基础，直至学生掌握了与这些观念相适应的完全形式的体系为止。”

需要指出的是，数学复习课虽然应该重视基础，但不能片面地演绎为面面俱到的基础知识简单堆积和基本技能重复操练，从而降低学生的学习动机和内趋力。我们应该以提升学生的数学素养为目标，深入挖掘核心知识所蕴含的数学思想方法，突出平时教学的重点、难点和关键点，关注学生平时经常出现的错误和体现典型结构特征及解题思路的数学问题，并适度注意知识呈现方式的多样化，促使学生在自主整理和综合应用的过程中对所学知识进行精致加工，进一步完善认知结构，发展数学思维能力和问题解决能力。

复习课例两则

【课例1】平面图形的面积计算总复习

教学目标

1.系统地回忆、整理小学阶段所学平面图形的面积计算公式，理解面积公式的推导过程及公式之间的联系，从而构建有关知识网络，并能应用公式熟练地进行有关计算。

2.体验“事物之间是相互联系”的思想方法；体验数学与生活的联系。

教学准备

教师和学生各准备6种平面图形纸片一套。教师另准备有关课件。

教学过程

一、激趣导入。

师：学校准备征一块地盖图书馆。如果你是学校的校长，买这块地之前首先要了解哪些信息？（土地的大小———面积）

还要关注哪些方面？（形状、环境、位置、价格……）

师：猜猜看，这块土地可能是什么形状？（随着学生的回答将6种平面图形贴在黑板上。）

师：这节课我们一起来复习“平面图形的面积”。什么叫作“面积”呢？

二、梳理、建构。

1.回忆公式，夯实基础。

师：你们会计算这些平面图形的面积吗？请把这些图形的面积计算公式写在相应的图形上。（学生写公式，同时请学生板书。）

2.沟通联系，总结方法。

师：这些平面图形的面积计算公式是怎么得來的呢？

学生先独立思考，再小组交流，最后师生互动。

①长方形、正方形的面积是用面积单位量出来的。（课件演示。）

追问：正方形的面积可以用长方形的面积公式来计算吗？为什么？

②平行四边形的面积公式是怎么推导得来的？（课件演示。）

追问：拼成的长方形和平行四边形有什么联系？

圆的面积公式是怎么推导出来的？

追问：长方形的长相当于圆的哪一部分？宽呢？

这两种图形的面积计算公式，其推导过程有什么共同点？

③三角形、梯形的面积计算公式是怎么得来的？（课件演示）

追问：这两种图形的面积公式推导过程有什么共同点？

教师小结：根据已有图形面积计算公式可以推出新图形面积计算公式，这是运用了转化思想，是数学中普遍用到的思想方法。例如，运用转化思想可以把分数除法转化成什么来计算？

3.轻松一刻，展开想象。

两条线段互相垂直。上面一条长2厘米，下面一条是上面的2倍（出示课件）。你能根据这两条线段想象出哪些平面图形？怎样计算它们的面积？

4.构建网络，形成体系。

①合作拼图。

师：在小学阶段，我们首先学习了哪一种平面图形的面积计算？

你能结合刚才6种平面图形面积计算公式的推导过程，来说一说这样安排的道理吗？

请同学们根据6种图形之间的联系，把它们贴在一张纸上，并用箭头表示。比一比哪一组的设计能最好地体现出6种平面图形之间的联系。

②交流小结。

展示排列的网络图，指名说一说意图。（图例略。）

三、解决问题。

1.用篱笆围一块菜地，一边利用房屋的墙壁，菜地另一边的长10米，篱笆全长20米。求这块菜地的占地面积。

2.张老师最近新买了房子，准备装修。经测量，卫生间长3.2米，宽2.4米，高2.8米。他打算在地上铺边长0.4米的防滑方砖。你能帮张老师算一算，他至少要买多少块这样的方砖吗？

……

【课例2】用乘法计算的稍复杂的分数问题

引导学生弄清：题中没有给定两家的具体位置，两家可能位于学校的同一侧，也可能位于学校两边。

③两家和学校不在一条直线上。这样虽然不能给出两家一个明确的距离数，但可以确定一个范围，是在100米～1300米之间。

（课件演示三种不同情况的示意图。）

复习课设计策略

从当前数学教学的现状看，复习课比新授课更需要强调以学生的发展为本。这就提醒我们，在设计复习课的教学预案时，要善于把握数学核心知识及其所蕴含的数学思想方法，并以之为中心，科学、合理地安排教学内容，努力做到提纲挈领，纲举目张，从而给学生留足独立思考的时间，使他们获得可持续发展。

基于这样的理解，我们可以发现，以上呈现的两则课例设计可谓高屋建瓴，有利于学生学会从总体上把握所学知识，并在调整、完善、扩充认知结构的过程中，使知识“提质”、“增值”。在第1则课例中，教师没有按部就班地按照“回顧平面图形的面积计算公式———组织基本的面积计算练习———安排联系生活的综合练习”的顺序组织复习，而是着重引导学生进行推理，使学生的数学思维过程与数学知识的原发现过程协调同步，进一步弄清这些平面图形面积计算公式之间的内在逻辑关系，明晰知识发生与发展的线索，从而巩固数学的基础知识和基本技能，激活数学的基本思想方法和基本活动经验。在第2则课例中，教师也没有对有关分数的数学问题分门别类地复习，而是将其放入一个系统，紧紧抓住基本的数量关系展开复习，使教学前后呼应，浑然一体。通过对不同数学问题的分析、比较，可以使学生进一步明确这些数学问题之间的内在联系，优化知识的整体结构，凸显解决问题的思路和方法，并以此为基础建构更为上位的解决相关问题的基本策略，进而促使学生更加深刻地理解和掌握这些数学问题的结构特征、数量关系和解题规律。

从这个角度说，数学复习课的设计在宏观上应该着眼“聚合”，在微观上应该体现“发散”，从而使得学生能够居高俯视和灵活运用所学知识。具体地说，宏观的设计，也就是整节课的设计，要注重向学生呈现数学知识之间在数学思想方法上的一致性，为他们提供一个以数学思想方法为线索进行统领的知识结构体系。这样的课例不胜枚举，前文的两则课例就可以很好地说明这个问题。微观的设计，也就是具体知识点的设计，则要着眼于不同的侧面，把数学核心知识置于多变的问题情境之中，引导学生形成多角度的理解，建立多元的联系。这里以课例2中的最后一道练习题为例进行说明：由于题中两个学生的家与学校的位置关系不确定，使得这一道看似简单的数学问题的解答思路和结果具有了极大的开放性。这样的数学问题有利于引发学生的思维风暴，使得学生的思维在冲突和辨别之中更加缜密和全面。限于文章的篇幅，这里不可能列举更多的具体知识点并展示其完整、翔实的复习过程。笔者只想借此文提醒各位教师，具体知识点的设计应该聚焦于教材中的重点、难点和关键点知识以及容易混淆和出错的知识，让学生在有限的复习时间之内，经历知识的比较、判断、推理和应用过程，体验其所蕴含的数学思想方法，使之“固着”于那些处于基础地位的数学核心知识之上，从而形成实质性理解。其中，对于那些容易混淆和出错的知识，我们可以采用判断、选择的形式，让学生经历“举例—验证”的过程，感受和理解“只要举一个反例就能足以推翻一个数学结论，而只有找到所有的实例才能得出一个可靠的数学结论”的数学方法。只有这样，在面临问题时，学生才能根据信息提取线索和知识的多元联系，迅速、正确、广泛地激活大脑中长时记忆所储存的相关知识，顺利地形成解决问题的方案。

由此可见，我们只有用思想方法观照下的核心知识来组织数学复习课，学生才能真正从繁重的课业负担中解放出来，体验到“一览众山小”的感觉，从而进一步激发学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，提高数学学习的效率和质量。

参考文献：

1.曹才翰、章建跃著：《数学教育心理学》，北京师范大学出版社，2006年6月版。

2.魏光明：《寻找数学教学的着力点———刍议数学核心知识的教学》，《中小学数学》2008（1～2）。