数学教学中的分类讨论

韩恒阳

在实施新课程的过程中，要求每个学生具有创意、创思.分类讨论，它既是思想，又是逻辑方法.教学中正确、合理、严谨的分类讨论，可将一个复杂的问题简单化，化繁为简，化难为易，化抽象为具体.在教学实践中，笔者从以下四个方面，让学生学会分类讨论.

一、适时渗透，形成意识

初中数学引入负数概念后，对有理数进行分类，就蕴涵着分类讨论，从而形成意识.例如，155、117.3、0.55%等是正数——比0大的数；－155、－117.3、－0.03%等是负数——比0小的数；0既不是正数，也不是负数.从而有理数可分为正数、0、负数.这样可让学生识别，初步体会分类.教学中教师应有意启发学生，从有理数分类进行认知的迁移，帮助学生概括｜a｜表达方式：①a>0，｜a｜=a；②a=0，｜a｜=0；③a<0，｜a｜=－a.

二、启发诱导，弄清本质

初中学生分类意识不强，不知何时分类、如何分类.教学中教师应结合新课程，举一些符合新课标、且学生易接受的、需要区分各类情况进行讨论的问题，启发诱导，弄清本质.

例1若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）.

A. 50°B. 80°C. 65°或50°D. 50°或80°

分析：等腰三角形中角分顶角和底角.答案为 D.

例2方程kx2+2x－1=0有几个实数根？

分析：（1）当k=0时，方程为一元一次方程，必有一个实数根；（2）当k≠0时，方程为一元二次方程，它的根的情况由根的判别式的符号决定.

三、引导分析，学会方法

教学中形成了分类意识，弄清了本质，那么掌握合理的方法，就成为解决问题的关键.常见的分类方法有以下几种.

1．数学概念.有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类.

例3在平面直角坐标系中，已知点A（－4，0），B（2，0）.若点C在一次函数y=

-x+2的图象上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（）.

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

分析：三角形中任一角均可为直角.答案为D.

2．数学的法则、性质或特殊规定.研究反比例函数时，函数y=（k≠0 ）的图象取决于k的值.

例4已知反比例函数y=的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（）.

A. k＞2B. k≥2C. k≤2D. k<2

分析：由k-2＞0和k-2<0决定象限.答案为A.

3．图形的特征或相互间的关系.在进行圆弧的教学时，圆弧分劣弧、优弧和半圆.

例5如图1，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）.

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

分析：分劣弧和优弧两种情况：劣弧中1个点，优弧中2个点.答案为C.

4．条件开放.有些题目中的条件开放，致使求解结果不唯一.若对这类问题考虑不完整，时常发生漏解现象.

例6已知半径为1的两圆外切，半径为r且和这两圆都相切的圆共有个.

分析：①0

四、创设情境，提高能力

分类讨论的思想对学生的能力要求较高，学生不能盲目、随意分类讨论，而应不断强化意识，完善方法，提高能力.一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类.

1．代数中根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题.

例7如图２，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）.求不等式x2+bx+c＞x+m的解集（直接写出答案）.

分析：分x<1，1

2．根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题.

例8如图3，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度／秒的速度沿x轴向正方向运动，以O、A为顶点作菱形OABC，使点B、C在第一象限内，且∠AOC=60°，以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆.设点A运动了t秒.求：当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值.

分析：⊙P分别与直线OA、AB、BC、OC相切，故t的值：-1，3-1和9+6-1.