儿童的数学思维呈现怎样的严密性

周东明

数学具有抽象性、严密性和应用广泛性的特点，这些特点在小学数学中同样表现得十分充分。长期以来，数学的抽象性颇受小学数学教育研究者以及一线教师的重视，数学的严密性被关注的程度则要逊色得多。事实上，数学严密性的具体特征与儿童数学思维之间的冲突，已经给日常教学造成了很大的麻烦。研究二者的关系，对提高儿童的数学思维品质和数学素养都有着极其重要的价值，对改善当前的小学数学教育也具有十分重要的意义。

一、儿童的数学思维：不严密中的严密性。

所谓严密，就是没有空隙之意。我们说数学具有严密性的特点，就是说数学概念准确，没有歧义；数学证明讲究逻辑，无空子可钻；数学的叙述、符号的使用有一套规范的系统。

数学是严密的，但儿童由于其身心尚处在发展之中，其思维水平还不能达到数学严密性所要求的程度。通过观察小学生在数学学习中的表现，我们不难发现，在儿童不甚严密的数学思维中，也存在严密性的一些主要特征。

1.相信直观感觉。

俗话说：眼见为实，耳听为虚。这句话强调了眼睛所看到的“事实”的重要性。对于小学低年级学生来说，他们还不能将主体与客体区分开来，思考问题时，更相信自己的直观感觉，相信自己所看到的现实情景。下面关于平行和垂直的例子就很典型。图1（a）和图2（a）是目前教材中让学生认识平行和垂直时所呈现的“标准”图形，这也是学生大脑中“平行和垂直”的样子，他们并不承认图1（b）和图2（b）也是平行和垂直的。因为，这与他们先前所看到的平行和垂直的样子不相同。再如，在认识10以内数的时候，认识数字“几”就可以看到教材上有几个具体的实物图形（人、动物、小棒等），学生通过数一数的活动，很容易接受。但在认识比10大的数字时，如果也还是用“数”实物个数的方法，他们能接受（见图3）；可是一旦将10根小棒捆成一捆，剩余的小棒摆在旁边时（如图4所示），他们就有点不习惯，难以接受，这是因为表示法不直观所致。相信直观感觉，不是因为他们的思维不严密，而恰恰是儿童思维严密性的重要体现。就像图1，老师说b图所表示的两条直线是平行的，可在他们眼里，这两条直线明明是“斜的”，怎么会是平行的呢？他们才不会“轻信”老师的结论呢！可见，他们的思维还是很“严密”的。

2.重視外在形式。

重视外在形式是儿童数学思维严密性的第二个特征。如果说相信直观感觉是儿童数学思维的第一级水平的话，重视外在形式则可称为第二级水平。他们这时的思维已经有了初步的逻辑性，只是过于重视外表，而不太注意内容，或者说过于注重形式而容易忽视本质。例如，在初步认识分数时，尽管老师很强调“平均分”（我相信老师们都能做到这一点），但到具体问题时，下面的情况时有出现。

例如：用分数表示下列图形中的阴影部分。

《人民教育》2006年第3～4期上刊登了一篇文章《追问学校数学与生活数学的分野》，文中谈到一个教师在教学“三角形稳定性”过程中出现的情况：教师让学生把三角形和四边形木架拉一拉，体验三角形的稳定性。可能是木架钉得不牢固，一个学生将四边形木架拉成了如图6所示的三角形，并由此断定“有的三角形没有稳定性”。文章作者从这一事例出发，讨论了学校数学与生活数学之异同。本文无意讨论这个话题，只是觉得这个例子能较好地说明学生思维的严密性。本例中，学生将木架自如地在四边形和三角形之间转换，从而“发现”了自己的结论。学生得出这种结论并没有错，因为他是通过比较后得出的，而比较是数学思维的重要方式之一。这说明他在思考，只是思考时重视了外在的东西而已。其实，拉的活动、形状的变化都是表面现象，他并没有去思考三角形的概念（本质），倘若当时教师要求他在拉木架时，由两根木条组成的“线段”必须始终保持是一条完整的线段的话，他也许就得不出那个结论了。

3.认同合情推理。

所谓合情推理，简而言之，就是“合理的猜测方法”①。它与论证推理不同，论证推理是严格的数学理论建立的基础，但它与论证推理之间又有一定的联系，因为数学理论（结论及相应的证明）靠合情推理才得以发现，它们之间是相辅相成的关系。

限于学生的年龄、心理及知识水平，小学数学中的许多理论（主要是结论）并不是基于严格的逻辑推理而得出的，相反，主要是基于简单的归纳方法。一般采用的方式就是通过实际操作、演示或举出一个能“证明”结论的例子，在此基础上归纳、概括出相应的结论。同时，限于篇幅，操作、演示也好，举例也罢，一般都只有一个，而且是非常理想化的状态，但小学生都很认同这样的结论，他们认为这样的结论是可靠的。像前面提到的那位学生，他只是通过一个不牢固的四边形与三角形之间的形状变化，就得出了“有的三角形不具有稳定性”这一结论。他并没有考虑到这只是一个特例，也没有去思考造成这个特例的原因（钉子钉得不牢固或者是自己用力太猛而强行改变了四边形的形状），更没有去思考为什么别的同学的四边形木架没有被拉成三角形。他只看到了这一个事实，就得出了那个结论，在他的思维中，这是合情合理的。因为，他平时从教师、教材那里获得数学结论的方式就是这样的。

再如，在讲解圆锥体的体积公式时，大多是通过将两个等底等高的圆柱与圆锥进行比较（通过实际的倒沙子、倒水等操作过程或者用多媒体课件演示），在教师的引导下，得出圆锥体的体积公式。其实，这只是一个验证性的实验，但学生对此却深信不疑，因为事实摆在面前，有些事实的获得还是他们亲自实验得到的，怎么会错呢？

上述事例都说明了小学生数学思维严密性的一个特征———认同合情推理。

4.单维度的思维方式。

单维度的思维方式是指儿童在进行数学思维时，总是从一个维度（不论是顺向思维还是逆向思维）去思考问题，当需要从两个维度甚至多个维度（两个以上）去深入思考时，他们就显得力不从心，无所适从。

皮亚杰曾经以“钟摆”为例来说明儿童思维的单维度特征②。众所周知，钟摆摆动的速度因绳子长度的改变而加快或减慢，而锤的重量、下落点的高度以及最初的推动力，并不影响摆动的速度。但如果在同一时间内改变了所有因素，并使处于具体运算阶段（7～10岁）的儿童相信，改变锤的重量对摆速是有一定影响的，他就会真的相信这一点。

在小学数学教学中也会遇到类似的情况。例如在认识角时，如果同时改变角的大小和边的长度这两个因素，学生就很难相信角的大小与边的长短无关。他们会相信边的张开程度与边的长短同时影响了角的大小（或许，他们更相信边越长，角度越大）。圆的认识的例子也许更经典。在小学数学教材中，圆被定义成（也许用“说成”更恰当）“由曲线围成的图形”，教学时基本上都是用圆形纸片来说明这种图形。由于没有“轨迹”的概念，学生很难区分圆周（通常简称为圆，也就是小学数学中所说的“圆”）与圆面。因为在形成这个概念的过程中，圆周与圆面这两个因素是同时发挥作用的，由此引发了下面的说法，即“同一圆内半径并不相等”，也就是说，线段OA是该圆的半径（如图7所示），线段OB也是该圆的半径，因为点A和点B都在这个圆上。这个案例并非杜撰，而是笔者在听课时所遇到的，更令人意外的是，教师在课堂上否定了学生的这一说法，而私下里却认为学生的说法是有道理的。这一问题的出现，虽然体现出小学生数学思维中单维度的特征，但不可否认，它也与数学教材呈现这一内容的方式有关。

二、教学：多维度应对。

儿童数学思维所表现出来的以上特征，对整个小学数学教育都有很大的启迪。

1.加强变式练习。

由于兒童的数学思维表现为相信直观感觉、重视外在形式等特征，教学时通过观察、实验等实践活动以及呈现标准的算式、图形等，可以让学生较快地接受相应的数学知识，形成数学认知结构。但仅此还不够，还必须加强变式练习，让学生认清哪些是本质的，哪些是非本质的，这样不仅能培养学生思维的严密性，也能提高学生的数学思维品质。

2.培养学生质疑的习惯，引导学生多角度思考问题。

培养学生质疑的习惯，并不是在学生得出结论后多问几个为什么这么简单。由于小学生数学思维中本就有认同合情推理的特征，加上小学数学内容的呈现方式又是“例子+结论”的模式，当学生在教师的引导下得出与教材上一致的结论时，教师再问为什么，只能使学生把过程重复一遍（也许在用语上更准确，更接近教师的要求），而不能提高学生的思维水平。笔者以为，教师有意识地引导学生多角度地思考问题，不失为一种好的途径。

例如“积的变化规律”，教材上呈现了下列几个算式（顺序为笔者所加）：

6×2=12（1）

6×20=120（2）

6×200=1200（3）

要求教师引导学生将（2）式与（1）式比较，将（3）式与（1）式比较，从而得出“一个因素不变，另一个因素乘几，积也乘几”的规律。作为教材，这样编写无可厚非，但作为教师，这样教学则有不足。因为本例中只是第二个因素在变，如果第二个因素不变，只有第一个因素在变化，上述结论还成立吗？为了引导学生去这样思考问题，教师可以有意识地再给出两个算式：12×2=24和36×2=72，将这两个算式分别再与（1）式比较，从而得出上述结论。显然，加进这两个算式，对学生思维的影响就完全不一样，它使得学生在不知不觉中从多个角度去思考了问题，达到了“润物细无声”的效果。

除此之外，还可以采用多举反例的方式。反例既可以由学生举，也可以由教师举，再引导学生去思考。如在学习轴对称图形时，教师可以有意识地举一些面对称图形的例子让学生去判断，以使学生更深刻理解轴对称图形的本质。

3.改变数学内容的呈现方式，适当增加核心概念。

为了培养学生数学思维的严密性，有时内容的呈现方式应适当地加以改变，像上述积的变化规律的例子，如果教材本身就出现12×2=24，36×2=72两道算式，并提出相应的问题让学生思考，那就更加完美。

适当增加一些核心概念，也可以让学生的认知结构更加完整。如几何中的“简单封闭曲线”、“简单封闭区域”等概念，对于学生区分某些概念（如圆周和圆面）是很有帮助的，而这些概念本身对处于形式运算阶段初期的小学高年级学生来说，并不是特别难以理解的。当然，能不能增加核心概念以及增加哪些核心概念，是一个更深层次的问题，也是一个难度更大的问题，笔者在此提出来，希望引起更多人的重视。

注释：

①郑毓信：《数字方法论》，广西教育出版社，1996年版第34页。

②〔瑞士〕J.皮亚杰，B.英海尔德著，吴福元译：《儿童心理学》，商务印书馆，1987年版第110～111页。

（作者单位系华中师范大学教育学院）