“香蕉”球的奥秘与物理学中的力学原理

胡　锐　邹祖莉

摘 要：本文通过“香蕉”球的运动轨迹形成过程分析，将体育运动学和物理学紧密的结合起来，体现了新课程的理念：注重学科之间的联系和渗透，探索一种新的教学模式，试图将严谨的物理学知识应用到生机勃勃的足球运动之中。

关键词足球运动；香蕉球；力学原理；结合

中图分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-61

48(2006)12(S)-0021-2足球运动是当今人类十分喜爱的一项体育运动，在我国有着广泛的群众基础，青年人尤为钟爱。我们在观看高水平的足球比赛时，经常有这样的场面出现：某运动员踢出一记绝妙的“香蕉”球，足球划出一道美丽的弧线，绕过“人墙”，穿破守门员的“五指关”飞入球门……此刻全场人声鼎沸，观众喜悦和欢乐的情绪达到了极至。

究竟足球在空中如何运动，才能形成“香蕉”球？（它的初始过程取决于运动员踢球瞬时“脚法”，之中的物理学原理本文不作讨论。）现在我们从其所涉及的物理力学原理就此进行解析。

1 马格努斯效应

足球在空中的运动过程，可以视为重力场中质量均匀分布的球体在流体（空气）中的运动过程，一般说来，在流体中运动的物体要受到浮力、升力、阻力、阻力矩等作用。流体具有粘滞性，因此，有阻力施加于物体上，研究表明：低雷诺数时阻力与速度的一次方成正比，高雷诺数时阻力与速度的二次方成正比。若足球向前飞行时不产生绕对称轴的旋转，则周围空气对足球运动的影响只是减慢球的飞行速度，其在空中的运动轨迹为一平面曲线，不会出现“香蕉”球。如果足球在空中运动时，一边向前飞行，一边绕对称轴旋转，则由于足球的旋转和空气粘性的共同作用，在足球周围的附面内产生环流，前方来流和环流共同作用的结果，在来流和环流同方向的一侧，流速加快，在反方向的另一侧，流速减慢，根据伯努利原理，流速加快的一侧压力下降，流速减慢的一侧压力升高，二侧的压力差对足球产生侧向作用力称为马格努斯力，方向与足球的瞬时转轴垂直，且与足球的运动方向垂直，如图一所示。设足球半径、旋转角速度、空气密度、及相对球而言的气流速度分别为：r、ω、v，由儒可夫斯基环流理论，可求出马格努斯力为

FL=83πρωr3v（1）

由于马格努斯力的方向与球的旋转方向有关，因此，改变足球的旋转方向可以使足球在水平面内向左或向右偏转，踢“香蕉”球射门，足球可绕过防守人墙破门而入，它是足球运动一项重要的制胜技术。

2 “香蕉”球运动轨迹的形成原理分析

在考虑以角速度ω绕自身对称轴旋转的足球在空气中运动时，为了便于分析并能够求出解析表达式，我们假定：

（1）空气对旋转足球产生的阻力矩忽略不计；

（2）不考虑气流、风力对足球运动的影响；

（3）空气阻力的竖直分量较小予以忽略；

（4）足球绕对称轴旋转的角速度ω的方向沿竖直方向，马格努斯力的方向沿水平方向。

根据上述假定，在柱坐标系中，足球的运动微分方程为

竖直方向：md2zdt=-mg。（2a）

水平方向：mdvdt=-kv2，（2b）

mv2R=Gv。（2c）

竖直方向的运动规律为

z=z0+(v0sinα0)t-12gt2。（2d）

式中z0，v0，α0分别为z方向的初始位置，初速度，初仰角。

如图2所示，将ds=vdt和初始条件，z0=0，s0=0，v0=v0cosα0（α0为足球距离地面时在x-z平面内的仰角，v0为足球的初速度）

将v按t的幂级数展开，近似后得到：

x=∫瑃0vcosθdt=∫瑃0vcosGtm·dt=v0｛mGsinGtm-v0km［m2G2(cosGtm-1)+mtGsinGtm］+(v0km)2［m2tG2(GtmsinGtm+2cosGtm)-2m3G3sinGtm］｝。

足球的横向偏移量为：

y=∫瑃0vsinθdt=∫瑃0vsinGtm·dt≈v0｛mG(1-cosGtm)-v0km［m2G2sinGtm+mtGcosGtm］+(v0km)2［m2tG2(2sinGtm-GtmcosGtm)-2m3G3(cosGtm-1)］｝。

上面两式给出足球在x-y平面上投影的运动轨迹横向位移y随着v0、ω0的增大而增大，与实际情况是一致的，取足球的质量为m=0.454kg，半径r=0.11m，取空气的密度ρ=1.29kg·m-3，并分别设足球的初速v0=15m/s及18m/s，旋转角速度ω0=10s-1及 15s-1，近似地取阻力系数c=0.50，可求得几种横向位移的计算值，如下表所示，它们与“香蕉球”运动轨迹的实际情况基本相符。显然，解析计算的结果对足球教练员和运动员在进行“香蕉”球的设计和训练时提供了有力的理论依据。

v0/m·s-11518

ω0/s-110151015

t/s12121212

y/m2.077.493.0810.832.448.773.6312.68

体育运动的强盛反映了一个民族的综合素质，而竞技体育运动水平的提升有赖于先进的文化知识和科技手段作为基础。在物理教学中渗透各类体育运动的物理原理分析，一方面能激发学生学习物理的兴趣，另一方面能使运动员的实际感悟与理论认识有机地结合起来，促进其技术技能的提高。这种结合也是创建一种新的教学模式的尝试，对培养和提高学生分析问题、解决问题的能力是大有裨益的。

参考文献：

［1］葛隆祺，体育运动中的流体力学.工科物理.1995（1）.24~27

［2］马文蔚，物理学原理与工程技术中的应用.北京，2001.11

［3］梁绍荣，普通物理学，北京，高等教育出版社1993.11

(栏目编辑黄懋恩)

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