分类讨论思想在高中物理解题中的应用

邵晓明

在数学上，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。“物以类聚，人以群分”。所谓分类讨论，就是将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解；或当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略。

分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫逻辑划分。不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想，因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。

分类原则是分类的对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。分类方法是明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，始终按照一个标准进行正确分类；分层次进行分类，逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。

物理学是研究物质世界最普遍运动形式及其相互转换规律的基础学科。它与人类社会的发展，现代物质文明的建立有着极其密切的关系。通常根据所研究的物质运动形态和具体对象的不同，物理学分为力学、热学、电磁学、光学、原子物理等，这其实就是一种分类讨论的思想，所以说分类讨论思想渗透在物理学中的每一个地方。

在物理教学中，针对一些重点和难点问题，适当增加一些分类讨论题，让学生利用分类讨论思想解题，是很有必要的。利用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答，这样既有利于学生深入了解物理现象，理解物理概念和规律，掌握物理公式的使用条件，同时还可以通过分类讨论，使学生消除头脑中的片面的错误的观念，以培养学生的发散性思维和创新能力。

如果所遇到的物理问题由于研究对象或已知条件不够明确，或已知条件存在着缺陷时，通常需要采用分类讨论的思想，对研究对象或已知条件进行分类讨论，然后根据物理原理和规律，对问题进行求解。在解决具体的物理问题时，首先要进行审题，如果需要分类讨论，则一般可从研究对象、已知条件、物理过程、物理状态和所得结果五个方面进行分析。

1 对研究对象进行分类讨论

在高中物理中，有很多问题会涉及到多个研究对象，正由于存在有两个以上的多个研究对象，在分析时容易使研究者较难把握研究对象，以至于无从下手。所以，在解决这类物理问题时，对研究对象进行分类和讨论，将有助于研究对象的确定，有利于问题的求解。

例1 有一等臂天平，右边托盘上放砝码，左边托盘上放一容器，容器内装有水，水中有一小木球（木球密度小于水密度）通过细绳与容器底部相连，如图所示，天平平衡。现因某种原因细绳突然断裂，则天平（ ）

A.仍处于平衡。B.顺时针转。

C.逆时针转。 D.无法判断。

分析 此题的关键是判断出细绳断裂前后容器对托盘压力大小变化。由于木球的密度小于水的密度，故细绳断后小球所受的浮力大于重力而匀加速上升。又由于小木球匀加速上升而使小木球原来所占的空间不断被水填补，水也发生了运动。本题所涉及的研究对象很多，既有静止的（容器、天平、砝码），又有运动的（小球、容器中的水），显得很复杂。我们不妨运用分类讨论的思想，把研究对象进行分类。

首先把容器中的水看成二部分，一部分是不断填补小木球（设质量为m1）原来所占空间的与小木球等体积的小水球（设质量为m2），另一部分是除小水球外的其它水。由于容器及容器中除运动的小水球外的其它水都是静止的，可以看成一个研究整体，设总质量为M。

由于细绳断裂之前一切静止，故可把容器、容器中的水及小木球当成一个整体，可得整体对托盘的压力大小为（M+ m1+ m2）g。

而细绳断裂之前后整体内的物体有静有动，取竖直向上为正方向。设小木球匀加速上升的加速度为a，那么与小木球等体积的小水球向下运动的加速度为-a。

对小木球分析，设水对小木球的浮力为F1，可得F1-m1g=m1a，即F1=m1a+m1g。

对小水球分析，设静止的水对小水球向上的作用力为F2，可得m2g-F2=m2a。

即F2=m2g-m2a。

而容器及容器中除运动的小水球外的其它水都是静止的，可以看成一个研究整体，此整体受重力Mg、小木球向下的作用力F1、小水球向下的作用力F2、托盘向上的弹力F四个力的作用，则有F=Mg+F1+F2，

即F=（M+m1+m2）g-（m2-m1）a。

因m1

可知细绳断后对托盘的压力比断前减小了，天平平衡被破坏，右边下沉，答案为B。

2 对物理状态进行分类讨论

一般情况下，由于所研究的问题中运动物体所处的状态未知或已知不够明确，或物体在运动的过程中某一时刻所处的状态是未知的，使得问题在求解的过程中显得繁杂。在这种情况下，需要仔细分析所研究的问题，尽可能对物体所可能处的状态进行充分的考虑，然后进行分类讨论。

例2 如图所示，水平放置的两平行光滑导轨左侧连接电阻，其他电阻不计，导体杆MN放在导轨上，并在水平恒力F的作用下，沿导轨向右运动，并将穿过方向竖直向下的有界匀强磁场，磁场边界PQ与MN平行，从MN进入磁场开始计时，通过的感应电流i随着时间t的变化可能是图中的（）

分析 导体杆在水平恒力F的作用下，在磁场外做匀加速运动，进入磁场后导体杆切割磁感线产生感应电动势和感应电流，导体杆又要受到安培力的作用，这就要对导体杆刚进磁场的瞬时所处的状态进行分类讨论。

如果导体杆刚进行磁场的瞬时是处于平衡状态的，导体杆所受安培力刚好等于水平恒力F时，即BIL=F，可得I=FBL ，又I=BLvR ，可知速度v=FRB2L2 ，即导体杆将以这个速度在磁场中匀速运动，感应电流也为定值（如A图）。

如果导体杆刚进行入磁场的瞬时是处于减速状态的，即导体杆在磁场外加速获得的末速度大于FRB2L2时，导体杆进入磁场时所受的安培力大于水平恒力F，导体杆将逐渐减速，由I=BLvR得感应电流I也将逐渐减小，而随着I的减小，安培力在减小，合外力在减小，加速度在减小，速度减小得越来越慢，最后当安掊力等于水平恒力F时，作匀速运动（如C图）。

如果导体杆刚进行入磁场的瞬时是处于加速状态的，即导体杆进入磁场时速度较小，安培力将小于水平恒力F，导体杆继续加速，I=BLvR越来越大，安培力越来越大，加速度越来越小，最后加速度为零，速度达最大值，电流I=FBL保持不变（如D图）。

3 对物理过程进行分类讨论

通常情况下，所研究的问题涉及到物体的运动，而又对物体的运动过程没有具体已知或已知不够明确，在这种情况下，需要分析物体运动的过程，考虑物体运动尽可能出现的种类，然后对物理过程进行分类。

例3 （2004年理科综合能力测试第25题）一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？（以g表示重力加速度）

分析 在将桌布以恒定加速度a抽离桌面的过程中，圆盘先是在桌布上运动，后是在桌子上运动，由此可知，需对圆盘的整个运动过程进行分类讨论。

由于桌布以恒定加速度a做加速运动，圆盘在桌布的带动下（桌布对圆盘有滑动摩擦力的作用）也做加速运动，要使两者之间发生相对运动，必然有a>μ1g（圆盘的加速度）；当盘离开桌布后，在桌面上做匀减速运动，直至停止在桌面。据题意，圆盘未从桌面掉下，其临界状态是盘子最后停在桌边，恰好不掉离桌面。即圆盘先在桌布上做初速为零的匀加速运动，桌布对圆盘的摩擦力μ1mg为动力，尔后在桌面上做匀减速运动直至停止，桌面对圆盘的摩擦力μ2mg为阻力。

设圆盘的质量为m，桌长为l，圆盘在桌布上做加速运动的加速度为a1 ，有

Fゝ1＝μ1mg＝m a1。

桌布抽出后，圆盘在桌面上做匀减速运动，以a2 表示加速度的大小，有

Fゝ2＝μ2mg＝m a2。

设桌布从盘下抽出所经历的时间为t1 ，在这段时间内桌布移动的位移为x，圆盘移动的位移为s1 ，有x＝12at21 ， s1=12a1t21。

由题意分析可知，当桌布比圆盘多运动了l2的位移时，盘布分离，即x－s1＝l2 。

以上式子联立可得出t1＝l/(a-μ1g) 。

设圆盘刚离开桌布时的速度为v，离开桌布后在桌面上再运动距离s2便停下，有

v2=2a1s1，v2=2a2s2。

盘没有从桌面上掉下的条件是：

s2≤l2－s1。

由以上各式解得a纽1+2μ2μ2μ1g ，即圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是

a纽1+2μ2μ2μ1g。

4 对已知条件进行分类讨论

有的物理问题，由于已知条件不够明确，如有时仅已知某一矢量的大小，有时仅已知某一矢量的方向，也有时在题目中已知的某一物理量通常用字母表示，没有给出具体的大小或方向。在解决这种问题时，通常需要采用分类讨论的思想，对已知条件中的这一物理量的大小或方向进行分类讨论，然后根据物理原理和规律，对问题进行求解。

例4 如图（甲）所示，在倾角为α的斜面上，质量为m的物体在水平力F作用下处于静止状态，试分析该物体的受力情况。

分析 首先对物体进行受力分析，如图（乙）所示，物体除受到竖直向下的重力mg、垂直于斜面的支持力FN、水平力F作用外，是否还受静摩擦力作用呢？这就要对物体存在的运动趋势进行分类讨论。

物体在重力mg、支持力FN、水平力F作用下，若恰好没有相对运动的趋势，即没有受到静摩擦力作用，此时mg、FN、F三力平衡，在沿斜面方向有Fcosα=mgsinα。在这种情况下，即使斜面粗糙，物体也不受摩擦力作用。

物体在重力mg、支持力FN、水平力F作用下，假如有沿斜面向上相对运动的趋势，则物体受到沿斜面向下的静摩擦力作用，此时在沿斜面方向上满足Fcosα=mgsinα+Ff，即静摩擦力大小为Ff=Fcosα-mgsinα。

物体在重力mg、支持力FN、水平力F作用下，假如有沿斜面向下相对运动的趋势，则物体受到沿斜面向上的静摩擦力作用，此时在沿斜面向上满足Fcosα+Ff=mgsinα，即静摩擦力大小为Ff=mgsinα-Fcosα。

假如水平力F是从零开始逐渐增大的，那么物体所受的静摩擦力方向先是沿斜面向上后是沿斜面向下；静摩擦力大小变化为先逐渐减小至零，后又逐渐增大。

5 对所得结果进行分类讨论

有的物理问题，由于设计者非常重视考查学生的分析能力，通过精心的设计，巧妙的设问，使得学生根据物理概念和规律解出的结论中，出现这样几种情况，一是结论不唯一，如解得的物理量有两个或多个答案，需要学生根据物理原理或实际情况进行讨论和检验；二是由于所研究的问题中已知的物理量通常用字母表示，而且某几个物理量之间的大小关系不确定，这时也需要学生解出结论后，对所得结果进行分类讨论，以使结果更趋合理。

例5 带有光滑的半径为R的1/4圆弧轨道的小车总质量为m1，静止在光滑水平地面上。在与轨道下端的切线水平方向，今有一质量为m2的小球，从与轨道下端的切线等高的平台上以水平的初速v0滚上小车，如图所示。求：若小球上升过程中不离开小车，则当小球返回离开小车时，小球和小车的速度各是怎样？并讨论结果。

分析 小球滚上小车后，小球和小车相互作用，因小球和小车所组成的系统水平方向不受外力的作用，水平方向的动量守恒，设小球返回离开小车时，小车和小球的速度各为v1、v2，则有m2v0= m1v1 +m2v2。

又由于水平地面光滑，小车的1/4圆弧轨道光滑，故小球和小车所组成的系统机械能守恒，即12 m2v20=12 m1v21+12 m2v22。

由上述两式可得v1=2m2m1+m2v0 ，

v2=m2-m1m1+m2v0。

当小球返回离开小车时，小车和小球的速度大小是知道了，但速度是矢量，是有方向的，那么此时小车和小球的运动方向如何？就要对所求解出的结论进行分类讨论。

当m1=m2时v1=v0、v2=0即速度交换。

当m1>m2时，v1>0、v2<0，即小球返回离开小车时，小车向左运动，小球向右运动。

当m10、v2>0，即小球返回离开小车时，小车和小球都向右运动。

综上所述，分类讨论思想在物理学中，特别是解决具体的物理问题中，应用非常广泛。中学生在学习物理的过程中，在应用物理概念、原理和规律解决实际问题时，对这些用字母来表达已知量、或仅已知某一矢量的大小、或仅已知某一矢量的方向的问题，由于研究对象、已知条件、运动过程、所得结果等不够明确时，会感到很不顺手，也就特别害怕了。所以在高中物理的教学中，在解决这些问题时，渗透分类讨论思想，不但能提高学生学习物理的积极性，更能提高学生的分析问题和解决问题的能力。

(栏目编辑赵保钢)

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