神奇的莫比乌斯圈

华应龙

教材说明

莫比乌斯圈是德国数学家莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现的一个副产品。“莫比乌斯圈”已被作为“了解并欣赏的有趣的图形”之一写进了《数学课程标准》，编进了义务教育课程标准实验教科书《数学》（新世纪版》第十册。

教学目标

在老师的带领下，学生自己动脑想像，自己动手操作，学会将长方形纸条做成一个神奇的莫比乌斯圈：进而经历其出乎意料的变化过程，在其“魔术般的变化”中感受到数学的无穷魅力，拓宽学生的数学视野;再经历创造性的设计发明环节，积淀“数学不仅好玩还好用”的积极情感，激发起进一步学好数学的志趣。

课堂实录

一、变魔术。

师：（出示一张白纸条》请拿出这样的白纸条。这张纸条有几条边？几个面？

生：（齐）四条边，两个面。

师：一个正面、一个反面（边比划边说，学生也随着说）。现在我会变魔术，我能把它变成只有两条边，两个面。你会吗？

（停顿。学生摆弄着纸条，无人应答。教师微笑着把纸条变成纸圈。）

师：是不是两条边、两个面？（边问边比划。）

生：是！（同学们都笑了。）

师：你会吗？

生：会！（学生都做成了纸圈。）

师：我看那位男同学的笑很特别，什么意思？

男生：（笑着说）这没什么神奇的！

师：是啊，地球人都知道。奇妙的是，我还能把它变成一条边、一个面。（停顿，环视学生。）

（学生们瞪大眼睛，兴趣一下子被激发起来了。有同学在想，有同学在试。）

师：非常好，有同学在大胆尝试！〔全班同学都动起手来。）有五六个学生已经做出来了。太棒了！是不是这样的？（老师把纸条放在背后操作，做成莫比乌斯圈。同学们笑了。）

师：不想让你看到！（出示莫比乌斯圈。）想想吧，是怎么做的？（同学们微笑着，尝试着。成功了的，快乐着。没成功的，纳闷着。）

二、做纸圈。

师：（看到大多数同学都做成了）同学们可以互相帮助。（没有做成的在同学和老师的帮助下也很快完成了。）看到同学们快乐的笑脸，

我真高兴！我们可以这样做（演示）。先做成一个普通的纸圈，然后将一端翻转180°，再用胶水粘牢。（学生动手粘。）

是不是一条边、一个面？怎样检验呢？

（一名女生用手指沿着纸条的边和面各走了一圈。）

生：是一条边、一个面！

师：我们一起动手，都来检验一下吧。誰拿出一枝水彩笔，在纸圈的中间画一条线，看看它是不是一个面。

生1：（边画边说）又回来了。

生2：哎，真是！（学生有的笑了，有的很惊讶。）

生3：真是一个面呀，怎么回事？

师：像这样没有里面和外面之分，只有一个面的，数学上叫它单侧曲面。（板书：单侧曲面。）那么普通的纸圈有里外之分就叫……

生：双侧曲面。〔老师板书：双侧曲面。》

师：这样一个怪怪的纸圈叫什么名字呢？有人知道吗？

（环顾全班，有3个学生举手。）

生：莫比乌斯圈。（另两生附和。）

师：真不简单！（板书：莫比乌斯圈）你是怎么知道的？

生：从《十万个为什么》上看到的。

师：是啊，我小时候也特别喜欢看《十万个为什么》。为什么叫莫比乌斯圈呢？（无人应答。）我来告诉同学们，德国有一位数学家叫莫比乌斯，1858年，一次偶然的机会，他发现了这样一个奇妙的纸圈。所以，人们就把这样的纸圈叫莫比乌斯圈。

<学生们点头领会。）

三、沿1/2线剪。

师：我们的魔术还可以往下做，怎么做呢？刚才你不是在这个纸圈中间画了一条线吗？想想看，如果我们沿着中间这条线把这个纸圈剪开。（教师示范剪一小段，个别学生要动手剪。）注意，别忙着动剪子。想一想，我们沿着中间这条线把这个纸圈剪开的话，会怎样呢？

（学生面面相觑，不出声。）

师：我们应该“大胆猜想”。

生1：我觉得这一个圈会变成两个圈。

生2：我觉得会变成两个莫比乌斯圈。

生3：会不会变成3个圈？

师：（看到有学生想剪了）要知道究竞，怎样办呢？

生：剪剪看。

师：是啊，实践出真知！

（学生积极地动起手来。）

生1：在我剪完之后，不像刚才同学们说的那样是两个圈，它们是连在一起的。

生2：我这个也是连在一起的。

师;那是一个圈还是两个圈？

生：（齐）一个圈。

师：不过，这个圈中间有点扭起来了。我们都认为从中间剪开应该是两个圈呀，怎么会变成一个圈呢？奇怪！

〔学生小声议论起来。）

师：哪位同学能说说你的猜想？

生1：我猜想因为莫比鸟斯圈只有一条边一个面，所以我觉得剪开以后是一个大圈！

生2：因为是粘着的，我觉得剪完是一个整体。

师：刚才两位同学发表了很好的意见，其实每位同学都可以猜想。究竟为什么呢？你可以继续研究。

（一男生在玩弄他剪出的长纸条……）

师：咦，有新发现了。这位同学说说你的发现。

男生：我也不知道我怎么剪出了一根纸条。

女生：他没认真看老师的示范，先从边上剪进去的。

（那男生点头。）

师：对，我们是说沿中线剪开。真得“小心求证，（板书：小心求证），不然还以为有新发现了。不过，这也确实是个新发现啊。

（出示剪成的大圈）那么它还像刚才那样，只有一个面吗？

生：（齐）一个面.

师：这是我们猜测的，要准确回答，怎么办？

生：用笔画线。

师：请拿起笔来，在纸带中间画一画，看一看，究竟是一个面还是两个面？

（学生动手检验后，纷纷说“一个面”。）

师：我们看到的两个面是不是都被画上了线？

生：（恍然大悟）不是，只画了一面，没有画到另一面。

师：那这个纸圈是不是单侧曲面的呢？

生;不是。

师：是个双侧曲面。所以有的时候不能只在脑子里凭想像，还是要亲自去做一做。做完以后，还得“小心”看准了。现在纸带中间又画了一条线了。如果再沿着这条线剪开，想一想，又会是什么结果呢？

生1：还是一个圈。

生2：我觉得是两个圈。

生3：我也觉得是两个圈，是两个圆圈。

师：大家做做看。

（学生动手操作，老师也动手操作。）

生：是两个套着的圈，真奇怪！〔学生开始小声议论起来。）

师：这次我们同学猜两个圈，结果还真是两个圈，不过这两个圈是……

生：是套着的。

师：对，是套在一起的口真奇妙！现在，你有什么想法吗？

生：老师，还能剪。

（同学们都笑了，）

师：（边笑边说）还想再剪是吗？对，如果再剪会怎么样呢？我还真没试过。还有其他想法吗？

生：我觉得这太神奇了，可是我想知道这是怎么回事？

师：还有其他想法吗？

生：我觉得这个圈本来应该是分开的，为什么会变着变着又缠在一起了？

师：这样的纸圈确实有很多奥秘，值得我们去研究。

四、沿1/3线剪。

师：我们继续来感受这个纸圈的神奇，好吗？请同学们拿出那张黄纸条。在这张黄纸条上画了三等分线，请把中间的一份涂上你喜欢的颜色。两面都涂。

（学生动手操作。）

师：涂好了吗？

生：没有口

师：好，我们再等一等。涂完之后再把它圈成一个莫比乌斯圈。

生;做完了。

（很多同学都把做好的莫比乌斯圈举了起来，教师对个别同学进行辅导。）

师：好，现在你有什么想法？

生：能沿着线把这个莫比乌斯圈剪开吗？

师：可以的。如果我们沿着三等分线把这个莫比乌斯圈剪开的话，需要剪几次呢？

生：（齐）两次。

师：剪完以后会是什么样子呢？

（学生小声猜测。）

生1：我觉得剪完后可能会是三个圈套在一起。

生，2：我觉得是三个小圈套成一个大圈。

师：三个小圈套成一个大圈？真佩服你的想像。那究竟是怎么样？还是动手去做一做。

〔学生开始操作口）

生：剪一次就可以了。

师：明明是两条线，怎么剪一次就可以了？

（学生中不时发出惊奇的声音：“咦！邪门儿了……”）

师：剪成了几个圈？

生1：两个。

生2：一个大圈套着一个小圈。

生3：小圈是单侧曲面，大圈是双侧曲面。

五、自主玩。

师：刚才我们将一根普通的纸条拧、粘、剪（板书：拧、粘、剪），我们感受到了莫比乌斯圈的变幻莫测、神奇无比。我想接下来的时间就完全交给同学们了。现在就发挥你们的聪明才智口你们自己想像、设计、制作。请拿出另一根白色纸条。刚才我们是拧了180度，你想还可以怎么拧？刚才我是沿1/2、1/3线剪的，现在你想怎么剪呢？特别好的创意，老师将奖给红色纸条继续设计。

（屏幕上出示经典的莫比乌斯圈图案，并播放古典乐曲《渔舟唱晚》。学生创作，教师巡视，询问夸奖，发放“奖品”。）

师：刚才是我们各自在创造，现在小组内的同学相互交流欣赏，说说你是怎么做的，怎么旋转，怎么剪开的。

（学生开始小组交流，老师往返于几个小组之间。尔后，请几位同学在全班交流。）

生1：我是把纸条一端旋转360度做成一个莫比乌斯圈，并沿1/2线剪开，得到的是两个套在一起的圈。

生2：我帮他纠正一下，把纸条一端旋转360度做成的纸圈不是莫比乌斯圈。

师：那它是什么？

生2：它是一个双侧曲面的圈。

生3：这两个圈的大小一样。

生4：它们都是双側曲面的圈。

生5：我得到一个结论：把纸条一端旋转180度的奇数倍次做的圈是单侧曲面的，而旋转180度的偶数倍次做成的圈是双侧曲面的。

师：真棒！他不但动手做，还动脑想了。那这个规律到底对不对呢？除了多次实验，还要从理论上去证明。现在，我还是提议我们为他的大胆猜想鼓掌！

生6：我把纸条做成一个莫比乌斯圈再沿1/4线剪开，结果不能一次剪开，一共剪了两次，但结果也得到两个套在一起的大小一样的双侧曲面纸圈。

师：刚才我们已经创造和分享了莫比乌斯圈的神奇。我想肯定还有很多同学想继续去探究，咱们暂时打住。

六、发明用处。

（教师出示莫比乌斯爬梯图片。）

师：在咱们西城区有一个莫比乌斯爬梯，有人玩过吗？

（十多名学生都说“玩过”。）

女生：我玩的时候上上下下有十圈，累得我满头大汗，最后还是回到原地。

师：哈哈哈！原来我们只是觉得好玩，现在我们知道是怎么回事了吗？

生：知道了！

师：莫比乌斯圈不但好玩，还好用呢。你想想看，莫比乌斯圈可以用在哪些地方呢？

生1：家里有胖儿子的，妈妈就可以设计一个莫比乌斯跑道，让她的儿子减肥。

（同学们都笑了。）

生2：有的过山车就是这样的。（很多学生附和。）

师：就像游乐园玩的那个，是吧？（教师出示几张过山车的图片，好多学生说：“是，真是这样的。”）那过山车的轨道到底是不是莫比乌斯圈呢？我们下次玩的时候注意观察一下，它是一个面呢，还是两个面，好不好？

生3：我觉得可以把楼梯制成莫比乌斯圈的。

（众人哗然。）

师：很大胆的一个猜想，说不定有朝一日，我们的楼梯就像他讲的那样，我上去一会儿又下来了。

（全班哄堂大笑。）

生4：我觉得环线地铁也可以是莫比乌斯圈的。

（学生又一片哗然。）

师：多好的想法！问题是当地铁沿着莫比乌斯轨道转着转着的时候，会转到哪儿去呢？

（全班善意地大笑。）

〔教师播放“一位同学听完磁带一面录音，换听另一面”情景的8秒钟录像。）

生：（一男生抢着说）可以循环的那种，做一个莫比乌斯圈式的磁带。（有三位同学附和。）

师：多有价值的创意，那样的磁带，就自动从这一面唱到那一面了。应该申请专利。唉！只可惜这个创意我们稍微迟了一点，已经被一个日本人申请了专利。

（好多同学发出了“唉”的一声。一个女同学举起了手。）

师：非常高兴，女同学有代表了！

女生：放水没关来回流，可以用莫比乌斯圈让它循环。

师：哈……把水重新利用一下？好，我没太明白口谢谢这位女同学！她的想法，让我想到针式打印机的色带，它就是让墨水流到莫比乌斯圈原理做成的色带上，充分利用了色带的两面。

（同学们报以热烈的掌声。）

七、说收获与遗憾。

师：很可惜我们的时间到了，上了今天这节课你有什么收获或遗憾？

生1：通过上这节课我知道了莫比乌斯圈，还知道了莫比乌斯圈怎样叠，

生2：我的遗憾是我没有想出那么多日常生活中可以用上莫比乌斯圈的用品。

师：那没事，今天刚接触嘛，接下来继续想就是了。

生3：我知遣了莫比乌斯圈只有一条边、一个面。

生4：我知道了莫比乌斯圈，我遗憾我不能多剪几次。

（大家都笑了。）

师：那是怪华老师没有给大家更多的时间，课下再试试好不好？

生5：我知道莫比乌斯圈在生活中有很多用处。

生6（那位首先想到莫比乌斯磁带的男孩）：我妈妈早生我几年就好了。

（全班同学都笑了。）

师：好了，同学们，大家通过今天这节课的学习，是不是对莫比乌斯圈还有很多疑问呢？还有很多个“为什么”没能解答。有的问题华老师也不怎么清楚。我告诉大家，数学中有一门专门研究莫比乌斯圈的学问叫做拓扑学。（板书：拓扑学）课下，有兴趣的同学可以继续去研究好不好？中国科技馆，去过吧？

生：（齐）去过口

师：（播放三叶纽结录像）中国科技馆的大厅里就耸立着一个巨型的三叶纽结，这个三叶纽结就是根据莫比乌斯圈的原理设计的。

它每天不停地旋转着美妙的曲线，带给我们美的享受，让我们享受着数学的神奇（在课题位置板书：神奇的），带给我们无限的遐想……

课后反思

从整节课来看，较好地完成了教学目标，学生们在“动手做”中深切地感受到了莫比鸟斯圈的无穷魅力，激发起了强烈的好奇心和创造欲望。陈省身教授“数学好玩”几个大字写在他们脸上，写在他们眼中，写在他们心里。

我为新课程中加入这样的学习内容鼓与欢，我为自已的教学创造乐悠悠！

以一张纸片做魔术导入，比直接出示莫比乌斯圈或者提出一个传统的、在一般情况下无法解决的问题引出莫比乌斯圈，更能让学生真切地感受到莫比乌斯圈像魔术般神奇的变化，并为学生琢磨其中的奥妙做了铺垫。在这个变化过程中，我并不是将莫比乌斯圈和盘托出，而是给学生创造和想像的时空。教学实践证明：不单莫比乌斯能发现这个圈，我们的学生也能够创造出来。只不过莫比乌斯是无意间的发现，而我们的学生是有目的的探索。

在动手探寻莫比乌斯圈的奇妙特点时，我坚持让学生先想一想、猜一猜，剪完以后再想一想：“我为什么没有猜中？为什么会是这样的？”这样，就不只是让学生动手做，还要学生动脑想，有效地培养了学生的空间想像能力、“大胆猜测，小心求证”的意识以及勤于反思的习惯。

一般的课上，学生的动手操作多是遵师命而为，学生只是操作工，不是探究者，我适时地放手，给了学生充分的自主创造的时间和空间，学生开动脑筋提出猜想，动手验证，愉快体验，它十分有效地激发了学生的创造热情和发现欲望。

最后的教学环节不是定位于“介绍应用”，而是立意在“创造和欣赏”。当学生发出“唉——我妈妈早生我几年就好了”，我窃喜不己，我要的就是這个效果：“人皆可以为尧舜”，我们一样能创造！

教学，同样是一门遗憾的艺术口满足之余，我在品味那几处遗憾——

在学生按1/2线剪完后，我问：“现在，你有什么想法吗？”我的预设正是后两位学生回答的：“我觉得这太神奇了，可是我想知道这是怎么回事？”“我觉得这个圈本来应该是分开的，为什么会变着变着又缠在一起了？”而当第一位学生说“老师，还能剪”时，我该不该让学生再剪？我没试过，可以让学生去试吗？整节课，对学生来说是处处出乎意料，但对我来说都是意料之中的。没让学生继续剪，潜意识里是怕出乎我的意料，不可收拾？还是要完成我的教案，否则没有时间按1/3线来剪了？说实话，我心底里是渴望课上出现“节外生枝”的场面，觉得那样的课堂够刺激，有挑战，充满着张力，展现着功力。但是为了完成教案，为了展示那按1/3线剪后的神奇，同时也是为学生后面的创造积蓄能力，我必须放弃这些“旁枝”。

那么，按1/3线来剪是非剪不可的吗？是根据学生的反应来组织教学，还是根据老师的主观预设来控制课堂？老师的设计肯定是较为理想的，但脚下走出来的才是路。自然的才是最美的！

虽然为了上这节课，我看了20多本相关的专业书籍，知道莫比乌斯圈有很多有趣的、神奇的性质：虽然发给学生的画好1/3线的纸条，都是我亲手一张一张地做成的，但是想起鲁迅先生《作文秘诀》中的“有真意，去粉饰，少做作，勿卖弄”，想起普罗泰戈拉的“人是万物的尺度”，我该以“生”为本还是以“圈”为本呢？再想到教学目标，我知道该怎么做了。

爱因斯坦说过，旧学校给学生太多的“好胜心”，很少培养学生的“好奇心”。这节课最根本的目标不就是培养学生的“好奇心”吗？这么看来，那个“单侧曲面”、“双侧曲面”也是可以不出示的，就用“一个面还是两个面”来区分就行了。

再实践

接下来，在别的班再上这一课时，就更为放手，没有了“单侧曲面”、“双侧曲面”的阻隔，没有了老师的及时“犁肘”，学生的想像发挥得更为酣畅。有的用上了老师提供的画好1/3线的纸条（那纸条变成了一种暗示），有的把莫比乌斯圈压扁了，变成了一个六边形，有的为了看清缠在一起的“真面目”，就再做一个，剪断这个看那个，剪断那个看这个。

最后我也参与了进去：“做了这么多莫比乌斯圈了，现在给你一张纸条你就能做成莫比乌斯圈吗？”学生自信地答道：“能！”我拿起纸条，剪去一大段，“请你用这一小段做一个莫比乌斯圈。”学生为难了。“纸条太短了，不行。”有学生说道：“对啊，纸条的长和宽该是怎么的关系才能做呢？”学生在思考，我突然想起哥伦布竖鸡蛋的故事。“就用这张纸条，我能做成一个莫比乌斯圈！”学生们的眼睛都闪闪发光。我用剪刀把纸条剪窄了……

那真是师生共享、共进，张扬个性，生成智慧的世界！