Ｅｘｃｅｌ双解物理极值问题

汤朝红　肖发新

Excel不仅是制表软件，而且是一种功能强大的数据统计和分析工具，能进行复杂的公式运算。对于物理中的极值问题，我们既可以通过Excel所绘制的函数图像直接读出，也可以利用“规划求解”功能快速、准确地加以解决。我们以一个常见的抛体问题为例，说明如何使用Excel通过两种不同的方法解决物理极值问题。

我们知道，在忽略空气阻力的情况下，从水平面斜向上抛出的物体，其水平射程在抛射角 ＝45°时最远。更为常见的情形是从距地面一定高度的地方斜向上抛出，此时最佳抛射角与抛射速度和抛射高度这两个初始条件的大小有关。在这种情况下，抛射角取多少时水平射程最大呢？我们列出水平和竖直两个方向上的运动方程：

如果我们将水平射程理解为两部分水平位移之和，即由和组成（图1）。第一部分表示=0时的水平射程。第二部分表示从高度为的地方斜向下抛向地面所产生的水平位移。当抛射角＝45°时，取得最大值，但此时进行斜下抛时具有较大的竖直速度，无法取得最大值；如果为了增大而取一个小于45°的，又无法取得最大值，因此应介于0°和45°之间。对于给定的和，我们可以利用（3）式求出最佳的抛射角和的最大值。

以=15.0m/s，=25.0m为例，我们将利用Excel的绘图功能和“规划求解”功能，使用两种不同的方法求解上述条件下的最佳抛射角和水平射程 的最大值。

一、图像求解法

1．在A1单元格中输入“ ”， A₂、A₃单元格分别输入“0”、“1”，用鼠标选中A₂和A₃单元格，将鼠标移到A3的右下角，当鼠标的符号变为“+”时，按住鼠标向下拖，Excel会自动地以公差为1的等差数列来填充，直到A47，此时A47单元格中的数值为45。

2．在B1单元格中输入“ ”，在B2单元格中依据上文（3）式输入公式“=15*15/(2*9.8)*(sin(2*A₂/180*3.14)+SQRT(sin(2*A₂/180*3.14)^2+8*9.8*25/(15*15)*cos(A₂/180*3.14)^2))”，回车确定。选中B₂单元格，将鼠标移到B₂的右下角，当鼠标的符号变为“+”时，按住鼠标一直向下拖到B47单元格内，Excel自动计算出了每一个对应的值。

3．选取A、B两列数据，依次点击菜单[插入]—[图表]，即出现[图表向导]窗口，在[图表类型]中选择[X、Y散点图]，在[子图表类型]中选择[无数据点平滑线散点图]，点击[下一步]，在相应位置输入图表名称、坐标轴名称，点击[完成]。接下来，我们可以对图表的绘图区、坐标轴和网格线等部分进行相应的修改，直至如图2所示。

观察图2，我们可以发现在28ο～30ο之间有最大值，可以用Excel的查找功能在数据区域找到精确值。或者在图像中直接用鼠标指向曲线的最顶端，此时在鼠标的右下方会显示相应的精确值。结果表明当=29°时，有最大值40.927m。

二、“规划求解”法

用上面的图像法求得的=29°和X_max其实是一个近似解，利用Excel提供的“规划求解”功能则可以求出抛射角的精确解。Excel的“规划求解”允许我们根据目标函数及其约束条件自动调整多个变动因素，以期找到问题的最优解，从而方便地解决许多物理极值问题。下面仍以=15.0m/s，=25.0m为例，方法如下：

在A₁单元格中输入变量“ ”，在B1单元格中输入上文（3）式的表达式：“=15*15/(2*9.8)*(sin(2*A1/180*3.14)+SQRT(sin(2*₁/180*3.14)^2+8*9.8*25/(15*15)*cos(₁/180*3.14)^2))”，回车确定。

“规划求解”功能在默认情况下是没有安装的，我们首先必须进行安装。选择[工具]菜单中[加载宏]选项，在安装提示下装入[规划求解]（注意要插入安装盘）。也可以将安装盘中[Pfiles]—[Office]—[Library]下的[Solver]文件夹及其目录下的Solver.xla、Solvr32.dll复制到Office安装目录[Office]—[Library]下，然后加载即可。

在[工具]菜单中选择[规划求解]，在弹出的[规划求解参数]对话框中通过点击B1单元格，使[目标单元格]出现$B$1的绝对引址。鉴于我们要求解的是最大值，于是在[等于]中选择[最大值]。在[可变单元格]中通过点击A1单元格，使之在框内出现$A$1的绝对引址。在[约束]处按[添加]，在随后出现的[添加约束]对话框中的[单元格引用位置]处点击A1单元格使之出现$A$1，在后面的框内选“<=”，“约束值”填入45，最后得到“$A$1<=45”。与之类似，添加约束条件“$A$1>=0”（图3）。

最后，点击[求解]按钮，选[保存规划求解结果]，按[确定]。我们在A1和B1单元格得到了29.306和40.928两个精确解，即当=29.306°时， 有最大值40.928m。