“相似型”的教学策略

李贞 叶锦义 黄荣金

第2部分 课例研究教育专家领衔的——以课例为载体的教师行动教育

为了探索新时期教师培训的新模式，上海市教委在20（13年初策划启动了一项由7位教育专家领衔的中小学校长和骨干教师的培训工程。其中由上海市教育科学研究院顾泠沉教授领衔的“行动教育模式”骨千教师高级研修班，2002年在上海市青浦区进行的“以课例为载体的教师行动教育”实验探索基础上（有关经验文章刊登在本刊2003年第6期），以青浦、静安、普陀三个区为基地，在全市8个区招收了54名青年骨干教师，配备了由特级教师、教育专业研究人员组成的24名合作伙伴，继续深入探索以行动为本、研训一体的教师培训模式。

在近一个学期的培训中，他们坚持“三个为本”的指导思想和做法，即：“行动为本”，坚持理论与实践紧密结合，教师在行动中自主学习，自主发展，通过“三类活动（教学设计—课堂观察—反馈会议）”、“两次反思”，将教师已有的经验上升为先进的理念，将教师的课程理念转化为教学行为：“合作为本”，研修班不设导师，采用合作制，变自上而下的被动接受式培训为自下而上的合作参与式研修，在培训者与被培训者之间建立新型的合作伙伴关系，通过学术支持、学科联系、基地指导等不同专业“色彩”的伙伴，组成一块多色彩的“调色板”，共同绘制教师专业发展的蓝图：“以校为本”，坚持“基于学校”、“在学校中”、“为了学校”的指导思想，以研究课程教学中的现实问题为出发点，以改进课程教学实践为目标，在8个区建立了一批建设“校本教研制度”的“扎根学校”，每一名学员和合作伙伴，就是一名课程教学改革的“种子”，通过骨千班的“种子计划”，充分发挥他们的示范作用，推进新课程的实施，促进教师团队建设，优化学校的教研文化.

这项以行动为本，以改进教学实践为目标，在行动教育中提升教师专业化水平的研训一体的活动，调动了教师参与培训的积极性。在一些“扎根学校”，参与培训的教师与合作伙伴，认真领会课程改革的新理念，并努力将这些理念落实到课堂教学中去。每一份教案，往往几易其稿，每一堂课，都做了详尽的观察;通过不断实践，不断反思，形成了一批鲜活生动、充满教学智慧，既有实践操作价值，又有理论探索意义的教学研究课例。

我们从中撷取4份研究课例刊载如下，以飨读者。

一、“相似型”教学策略的设计背景。

1.“相似型”教学策略的描述定义。

在初中数学中，有相当规模的一类知识单元具有如下特征：它们有相似的组织结构;它们各自具有相对独立的整体性;知识的呈现方式和知识的发生、发展轨迹基本相同。例如初中平面几何中的“平行线的判定”、“等腰三角形的判定”、“全等三角形的判定”、“平行四边形的判定”和“相似三角形的判定”等，都是以相似的方式呈现知识：定义—判定—性质。我们称这类具有相似组织结构和呈现序列的知识组块为“相似型”知识。其中，“相似三角形的判定”与“全等三角形的判定”这两个“相似型”知识，它们的“相似度”最高。

2.以往教学上的弊病。

以往，教师一般在进行某一类“相似型”教学时，很少考虑“相似型”知识之间的内在联系，往往是按部就班，依据教材的课时划分。今夭教“判定定理1”，明天教“判定定理2”，后天教“判定定理3”……每個判定定理都是以固定的模式展开：“已知”、“求证”、“证明”，而且只是注重定理本身的展开，而不思考与其他相似知识的联系。完成证明后就用较多的时间直接操练该定理的“应用”。这样教学的弊端是十分明显的。

首先，学生对判定定理整体性认识一开始就被人为地割裂了，因而缺乏对这类知识的整体性认识，不能从整体上与原有知识建立有效的联系。虽然，从当堂练习看效果不错，对刚学的定理“能掌握、能理解”，但当几条定理全部呈现后再练习时，不少学生在对定理应用的选择上存在障碍。这是这种“单一对象”的教学无法克服的弊病。

其次，这种“单一对象”的教学不尊重学生和低估了学生原有的认知基础。明明学生对这一类“相似型”知识有一种“似曾相识”的感觉，有一种内在的对两类“相似型”知识主动的认知欲望或冲动，但这种认知欲望和冲动总是被拒绝。因此学生往往处于被动地位。

第三，这种“单一对象”的教学耗时多，效益低.

3.“相似型”教学策略的研究价值。

由于“相似型”知识在初中数学中占有相当的比重，这部分内容的教学成功与否对整个数学教学成功与否具有重要的意义。由于“相似型，，知识具有相似性，这种相似性在学生的知识建构中具有怎样的作用？如何把这种相似性与系统整体认识论、建构主义学习理论、数学学习的本质——化归等恰当地整合起来，提高学生学习质量？

我们认为对“相似型”教学的策略研究，具有很高的实践与理论价值。于是，我们设想从中选取一个具有代表性的课例作为研究的载体。我们想以此来说明我们可通过教师教学方式与策略的改变，促使学生学习方式与策略的改变，以达到学习质量提高的目的。

4.为何以“相似三角形的判定”作为研究载体。

“相似三角形的判定”是平面几何中直线图形中最后学习的内容，教材中安排在初三第一学期。教“相似三角形判定”前，学生已经接触了不少“相似型”知识，对“相似型”知识已经积累了一定的体验。很有可能，一些学生意识到或初步感受到一种默会知识，即“相似型”知识学习方式的元认知：“相似型X”的概念及定义→由定义体现的“相似型X”的最基本的性质或判定→“相似型X”的判定定理。特别是，“相似三角形的判定”与“全等三角形的判定”的相似性极高，因为全等三角形是相似三角形的特例（相似比等于1），也是人们的认识从特殊向一般发展的一个范例，因此，这是一个很理想的探究主题。于是我们选择了“相似三角形的判定”作为课例研究的载体。

在进行这个课例研究中，我们可用框架表达我们的设计（如图1）。

5.“相似型”教学策略的理论依据。

在这个课例的设计中，我们以促进学生的主动学习、自主发展为出发点和归宿。我们以下列的理念或理论作为设计的支柱。

——整体放入，整体认识，整体把握。

我们把相似三角形的三条判定定理作为一般三角形的判定方法整体学习，使学生对相似三角形判定方法在较短时间内形成完整的认知结构，有利于学生面对选择时作出正确、合理的判断，有利于学生领悟学习知识时所应考虑的方式与策略等默会知识。这种策略源自系统论的整体认识论。数学教学“需要从整体上把握，至少把一个单元的数学思想，核心意识，像一个胚胎那样置于中心地位，然后，教师和学生则向这个‘数学胚胎输送营养和活力，使数学学习健康进行”。（《数学教育学导论》第125页，张奠宙、李士锜、李俊，高等教育出版社，2003年4月。）因此，基于知识整体结构相似性考虑，运用整体认识论来设计的“相似型”知识教学，有利于结构化知识的构建及培养元认知“调控”的能力。

——充分尊重学生认知基础，找准新知识的固着点。

现代建构主义的理论告诉我们，只有充分调动学生的认知准备，使学生建立新知识与原有知识之间有效的实质性的联系，以学生的亲身体验主动构建新知识，这种学习才是有效的。我们在设计中始终以“全等三角形的判定”和“相似三角形的预备定理”作为固着点，以类比、化归为方法来构建相似三角形的新知识。同时，当我们构建起相似三角形判定的新知识结构时，反过来对原来全等三角形判定的知识作出适当的改变，使它纳入到新的相似三角形判定这一新的认知结构中去。在这个课例中，知识的同化与顺应是非常清晰的。

——凸现数学学习的本质，注重思想方法的领悟。

数学学习中经常体现化归的数学思想，学生已有一定的领悟。从某种意义上讲，数学就是一门化归的科学，数学学习的本质就是化归。在“相似三角形判定定理”的学习过程中学生将看到三条判定定理的得出都是通过将其化归为预备定理得以实现的，这将势必感受到数学学习的本质是化归。化归的思想不仅是数学的学科思想，而且是人们认识世界、分析问题和解决问题不可或缺的思想方法。同时，在具体构建新知识时，又用了类比推理的数学思想，这些数学思想的领悟是数学学习的重要目标之一。

——创设问题情境，激发学习动机。

教育心理学的理论启示我们，应该充分运用动机原理，使学生的学习具有内驱力，学习将会取得良好效果。要激起学生学习数学的内驱力的一种很有效的方法，就是创设问题情境，使学生引起认知冲突或置身于渴望求得新知解决问题的情境中。为此，我们设计了“网格中的两个三角形是否相似”的问题情境，学生用定义或预备定理难以解决，激起对新的判定方法的学习欲望。当学了三条判定定理后，就较容易地解决了问题，这使他们体会到一种学习成功的愉悦。

二、“相似三角形的判定”的教学研究。

（一）教学设计。

教学目标

1.掌握相似三角形的判定定理，并能初步运用这些知识解决有关问题。

2.经历“观察一探索一猜测一证明”的学习过程，体验科学发现的一般规律，同时提高几何的图形语言、符号语言和文字语言表达能力。

3.通過相似三角形的判定定理的探索过程，渗透类比、化归等数学思想。

4.通过合作交流、自主评价，改进学生的学习方式，提高学习质量，逐步形成正确的数学价值观。

教学过程

1.复习提问.

教师活动：你知道的有关相似三角形的知识有哪些？

学生活动：（1）相似三角形的定义及预备定理。（2）全等三角形与相似三角形的关系以及全等三角形的判定。

（板书）：

在△ ABC和△A₁B₁C₁中：

AB/A₁B₁=BC/B₁C₁=AC/A₁C₁

∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁

全等三角形的判定

A.S.A;A.A.S;S.A.S;S.S.S;H.L

2.创设情境。

教师活动;利用已有知识，能否解此题？如图，在边长为1个单位的方格纸上有△ABC和△BED猜测ΔABC与ΔBED是否相似。若相似，能证明吗？

学生活动：当运用已有知识（预备定理和定义）来证明这两个三角形相似面临困难时，产生寻求更为有效的、简便的判定方法需求。

（板书）课题：相似三角形的判定。

3.探求新知。

（1）猜测。

教师活动：根据全等三角形的判定（条件），利用相似三角形定义条件，选择尽可能少的条件判定两个三角形相似。

学生活动：小组讨论，大胆猜测。

（板书）：

全等 相似

A.S.A 两角对应相等

A.A.A

S.A.S 两边对应成比例且夹角相等

S.S.S 三边对应成比例

（2）证明。

教师活动：以上猜想是否正确，必须证明，请学生选择他们希望首先证明的命题，逐一证明。

学生活动：小组讨论后，全班交流。

（第一个命题的证明学生口述，教师板演，强调证明思路：第二、第三个命题证明学生口述。）

（板书）：第一个判定定理证明全过程。

4.简单应用。

教师活动：运用相似三角形的判定定理解“情境问题”。

学生活动;独立思考，完成后全班交流。

（板书）：比较学生的不同解法。

5.小结与自主评价。

教师活动：全等三角形是相似三角形的特例，那么，全等三角形的判定一定也是相似三角形判定的特例，若将全等三角形的判定纳入到相似三角形的判定中，全等三角形的判定用相似三角形的判定如何描述？

学生活动;反思和发表对本堂课的体验和收获。

6.布置作业。

必做题：略。

选做题：将课堂中的例题引申：

（1）∠ABE为多少度？

（2）连结AE，ΔABE是什么三角形？

（3）将ΔBED沿BD翻折，再沿BC平移后，求∠1+∠2+∠3为几度？（运动过程，多媒体展示。）

（二）课堂教学行为的变化。

在课堂教学实施过程中，我们特别关注以下几个环节。

1.基于已有认知准备，学生通过类比猜测判定两三角形相似的条件。

在学生回顾了全等三角形的判定以及相似三角形的定义后，教師鼓励学生利用已有的知识，大胆猜测判定两三角形相似的可能条件。请看以下片段。

①师：刚才同学们已经回顾了相似三角形的一些性质以及全等三角形的判定方法，结合这些知识，请你思考一下，怎样在这些条件中，选择尽可能少的条件来判断两个三角形的相似，讨论后回答。

（学生讨论，教师巡视并给学生一些建议。）

②生：∠A=∠A₁，∠B= ∠B₁（学生口述，教师板书。）

③师：还有吗？

④生：AB/A₁B₁=AC/A₁C₁，且∠A=∠A₁。（学生口述，教师板书。）

⑤师：还有吗？

⑥生： AB/A₁B₁=AC/A₁C₁=BC/R₁C₁;（板书）还有比较复杂的。

⑦师：噢，没关系，你说说看。

⑧生：∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，AB/A₁B₁=BC/B₁C₁（板书）

⑨师：好，请坐。他们小组得到了四种，其他小组看一看。有什么意见吗？

⑩生：前面三种我们小组同意，最后一种我们不同意，前面已有两个角相等了，只要这两个角相等，就能判定这两个三角形相似，后面的比例式AB/A₁B₁=BC/B₁C₁是多余的。

11师：你们同意吗？（生同念。）噢，同意的。

在上述师生互动中，教师鼓励学生根据已有的知识及认识策略，通过学生的合作与讨论猜测三角形相似的判定条件（①～⑥），进一步在同伴的帮助下，明晰判定条件（⑧～11），经历构建知识的活动体验.

2.学生自主探究，验证命题。

学生意识到通过类比猜测所得到的命题不一定都成立，因此学生有强烈的愿望去证明这些他们亲自构建的命题是否正确。于是，组织小组讨论，探究命题的证明。在这一过程中，充分体现学生的自主合作与交流，倾听与评价。下面这一片段展示了学生之间的互帮互学。

①师：请你说说你们的想法.

②生：已知：在∠ABC与△A₁B₁C₁中，AB/A₁B₁=AC/A₁C₁=BC/B₁C₁。

③师;他要证的是“三边对应成比例，两三角形相似”。

④生：在△ABC中取AD=A₁B₁。

⑤师：在哪条边上取？

⑥生：在AB上截取AD=A₁B₁，在AC上截取AE=A₁C₁，连结DE，可以证出ΔADE≌ΔA₁B₁C₁。

⑦师：很好，怎么证明这两个三角形全等？

⑧生：AD=A₁B₁，AE=A₁C₁，然后……（学生证不下去了。）

⑨师;他的想法很好，但在证明两个三角形全等时，遇到了困难，谁能帮助他，好，你来说。

⑩生：因为AD=A₁B₁，AE=A₁C₁，且AB/A₁B₁=AC/A₁C₁，所以AD/AB=AE/AC₁，所以DE//BC，所以AD/AB=DE/BC，又因为A₁B₁/AB=B₁C₁/BC₁，所以DE=B₁C₁，所以ΔADE≌△A₁B₁C₁，又因为DE//BC，所以ΔADE∽ΔABC，所以△ABC∽△A₁B₁C₁。

在上述片段中，先是一位学生上讲台报告他们小组讨论的结果：证明“三边对应成比例，两三角形相似”，可是讲到一半，这位学生“卡”住了（①～⑧）。此时，教师并没有急着将正确的证明过程教给学生，而是鼓励其他学生帮助这个学生修正和发展这一证明（⑨，⑩）。这样，教师仅作为问题的提供者，而将发言权交给学生，教学任务是在学生自主学习中完成的，学生成为学习的主体。

3.反思交流，逐渐明晰化.

学生对概念或性质的理解通常经历一个从朦胧（也许包含一些错误的理解）到明晰，直到灵活应用的过程，而这一过程需要学生通过不断的实践、交流和反思来完成。自我反思在这一过程中起着关键的作用。在这节课中，一开始，史莹璐提出“全等三角形的判定定理都可以用在相似三角形的判定中”，而且在教师的追问下，她一再坚持这个说法是正确的，考虑学生的说法内含有一定的合理成分，但仅靠学生当时的知识基础难以解释，老师说“这个问题留着，新课上完后我们再来讨论”。这样很自然地为学生设计了一个反思的问题。等到介绍完了三个判定定理，再把學生引回到讨论是否“全等三角形的判定定理都可以用在相似三角形的判定中”这个问题上。

师：我们再回到史莹璐提出的这个问题——“全等三角形的判定方法都可以用在相似三角形的判定上”。刚才，史莹璐同学还是认为她的观点是对的。噢，你说说。

史莹璐：我现在认为，比如，全等中的S.S.S〔边、边、边〕只要把它的〔对应〕“相等”改为〔对应〕“成比例”，就可以用在相似三角形的判定中了。

师：对，这样就对了。

通过上述对话，学生通过这节课的学习与反思，把自己的观点明晰化，把原先原始的直觉观点，精致成为科学的论断。这种过程的呈现，不仅对这位学生是一个主动学习与内化的过程，也促进了学生之间互相启发、取长补短的学习共同体的形成。

（三）教师理念、行为的转变。

1.课堂整体设计的转变。

〔1）重视现代信息技术的应用。

现代信息技术的迅速发展和广泛应用，对数学课堂教学产生了重大的影响，现代信息技术的应用对于改善数学课堂教学过程，帮助学生理解数学知识本质和提高数学应用能力、改进学习方式起到重要作用。在第一次教学设计中，多媒体仅仅用作呈现教学材料的目的，而在第二次教学设计中，充分考虑如何用多媒体技术来展示证明的思想方法及过程，同时通过图形的变换来揭示问题之间的内在联系，这样便较好地把技术与数学学习的本质结合起来。正如在课后访谈中，学生在回答“今天这堂课留给你最好的印象是什么”时，有的说“充分利用学校的硬件设备，使课堂变得生动、形象，我很喜欢”;也有的答道：“多媒体教室里设备齐全，可以使老师做好充分准备，不会浪费时间，毕竟40分钟很有限。”的确，现代技术与课程内容整合，可将数学中抽象的内容直观化，形象展示思维的过程，对于改进教学，提高教学质量有着积极作用。

（2）任务的创设与使用。

课堂总是围绕某些任务（或问题）而展开的。一个精心设计的问题，不仅可以用来激发学生学习新知识的动机，也可用来作为学习新知识的载体，更可通过适当的变式而把问题解决延伸到课堂以外，拓展学生探究的空间。在这节课中，贯穿始终的只有一个任务（即判定方格纸中两个三角形的相似性），在课的开头，它作为激发学生探究“三角形相似判定”的问题情境。在学习了新知识后，它成为学生运用新知来解决此问题的自然平台，使学生有学以致用的成就感。此外，当学生解决了这个问题时，教师再将此题引申形成新的具有挑战性的问题，并将问题延伸到课后。这样不仅使这节课前后呼应，内在一致，而且为学生的主动探究，从情感与认知两方面都提供了合理的载体。这样的教学往往给人新鲜的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而产生主动参与的动力。然而，在第一次教学设计中，任务的创设主要是为激发学习动机的情境服务。而在第二次教学设计中，创设的任务贯穿于整个课堂：激发动机，知识应用，课后探究。

2.课堂关注点的改变。

在以往的教学中，我们往往关注知识的传授与获得。例如，在本节课的教学中，会把学生是否掌握相似三角形的判定定理作为教学成功与否的惟一标准。而在这节课的处理时，教师更关注学生对数学思想方法的理解。本课由类比“全等三角形的判定”猜想得到“相似三角形的判定”，企盼在这一过程中，学生能了解两者的内在联系，理解蕴含在其中的辩证唯物主义思想。在证明“相似三角形判定定理”的过程中，始终贯彻“化归”的思想，从而达到突破教学难点的目的。此外，我们更关注学生的学习方式。从形式上，将课堂教学的空间形式由原来的“秧田式”座位排列改为T型排列，缩短了学生与学生之间的距离，增强了学生间的相互交流的机会，形成合作学习的课堂氛围。从本质上说，这节课的教学试图体现对“相似型”知识的学习方式：利用已有知识，通过类比与化归来构建新知。

（四）教学评价。

1.学生课后调查。

我们分别对同年级两个平行班的学生进行调查。甲班是按课本内容、教学进度进行教学，一节课中仅完成了“相似三角形判定定理1"的教学。乙班是按本文中提及的教案进行教学，一节课完成了三个判定定理的教学。在甲、乙两班中由班主任各抽15名学生（好、中、差各5名），进行两方面的调查，一方面是学生对这节课的感受，另一方面是对教学内容的测试。

统计结果表明，对于数学学科喜爱程度相仿的两个班，在授课方式上的喜爱程度乙班略高，在数学思想的认识上，乙班明显优于甲班。

在第二部分的测试中，对乙班15名学生进行“判定定理3”证明的测试，其中13名学生完全正确，另外，2名学生也掌握了证明的方法，但偶有叙述上的错误。由此可见，实验班的学生，不仅喜欢这种课堂设计，对知识有较好的把握，而且较好地领会了本节课设计思想：利用类比与化归来探究新知。

2.自主评价。

在课的最后，留出5分钟的时间，让学生交流本堂课中的体验及收获。这种交流是开放式的。它包括知识上的收获，能力上的提高，数学思想和数学方法的领悟，过程的体验与感受以及学生对教师、同伴，教师对自身教学行为的反思与评价。同时，学生也可以对本堂课进行质疑，说出心中的疑惑，谈谈自己不同的见解。

在本节课中，学生自主评价提到如下几个方面。

（1）数学思想方法：类比、化归。

生1：我们学习相似三角形的判定是结合全等三角形的判定得到的。

生2：相似三角形的判定定理的证明都是用预备定理来解决的。

（2）同伴互助。

生3：我第一次站起来讲错了，但经同学的帮助，我现在学会了。

（3）自主发现。

生4：我认为今夭我们学到的三个判定定理比预备定理更加有用、实用。

（4）学生质疑。

生5：为什么全等中的A.A.S”在相似三角形中没有对应的判定定理？立刻便有学生回答了这个问题：“A.A.S”没有必要去证它，因为A.S.A与A.A.S都对应于“两角对应相等，.

此外，全等三角形与相似三角形的特殊关系在“小结与自主评价”这一教学环节中得以升华，在由学生认识到把“全等三角形三边对应相等”改为“相似三角形三边对应成比例”后，教師提出“能否将全等三角形的判定定理纳入到相似三角形的判定定理中，用相似三角形的判定定理来描述”这一问题，使学生真正领悟到全等三角形与相似三角形两者之间的内在联系.

可见，自主评价是数学教学过程中极为重要的一环，是学生一节课的升华阶段，我们提倡“让学生在学习过程中评价，在评价过程中学习”，并且认为学生长期经历自主评价，能形成价值判断意识，获得较强的评价能力，逐步树立正确的数学价值观.

三、结论与讨论。

在“相似型”知识教学设计与实施中，我们深切感受到，这种教学设计策略是有效的、可行的，有利于促进学生自主探索、合作交流的学习方式的形成，是实施新课程所倡导理念的一种有效尝试。具体来说，这种教学设计策略有如下特点：

1.优化认知结构。

给学生提供一个较为完整的知识整体结构，有利于学生对知识的理解（即知识之间的关系的把握），并形成合理的、本质相关的认知结构，这将有助于学生在应用知识时，迅速而有效地提取及重组。在这一方面，“相似型”知识教学设计策略具有独特的优点，而且在中小学数学教材中有许多“相似型”知识单元，因此，这种教学策略有一定的普遍适应性。

2.促进自主学习。

由于“相似型”知识教学策略十分强调学生已有的知识和学习经验，把新知识的获得看成是一个学生根据他们已有的认知准备，通过类比、猜测新知识，进行证明或反驳的科学发现过程，这为学生的主动探究学习提供了理想的平台及可能性.

3.改进学习质量。

学习方式改变的真正目的在于提高学习质量。通过“相似型”教学策略的实施，学生不仅可以主动地探究、获得新知识，而且体验到构建新知识的方法：类比和化归。这是十分重要的两种数学思想方法。因此，在课堂教学中，学生不仅获得了知识与技能、数学思想和数学方法，更为重要的是经历了主动构建过程的体验，改变了学习的习惯。

然而，我们在设计与实施的过程中，也体会到实施这种教学策略需要教师有较高的教学智慧。比如，“相似型”教学设计呈现块状的知识，相对来说知识容量较大，在一节课中，如何处理好关键知识点的深度、广度与各个知识点的全面理解之间的关系？如何设问来引发学生对“相似型”的联想以及创设问题情境来激发学生通过类比方法来探究新知识，这也是一个富有创造性的问题。另一个基本问题是如何处理学生的主动探究与教师的适度介入问题。一般而言，鼓励学生发表他们的观点，经常反思是十分重要的。

总之，我们认为，“相似型”教学策略有其独特魅力，是值得教师去探究的一个领域。