联想构图寻法 多解优化提能

1 试题呈现

试题 （节选）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称.例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称.

（1）略.

（2）如图2，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE，Q是DE上一点.用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）.

2 题目评析

原试题有3小问，此处呈现的是第（2）问作图的要求.整题立足几何核心知识，以“图形变化”为载体，建立“自位似轴对称变换”的新定义，考查学生的空间观念、几何直观、模型观念和推理能力等数学核心素养.题目中的“新定义”其实是“旧相识”，结合了“位似变换”和“轴对称变换”两种熟知的图形变换进行定义.学生可以从轴对称变换、位似变换的性质、中位线性质和平行线判定等去思考.本题将几何变换中的图形关系、局部元素关系梳理了一遍，真正考查了“几何是看出来”的能力以及“数学是讲道理的”的理性精神.

3 解法探寻

结合对第（2）问的理解，进行分析：这一问可以分为在△ABC的边BC上确定点P和在△ABC关于点A成中心对称的图形△AB′C′的边B′C′上确定点P两种情况.下面仅以第一种情况为例进行分析展示.

3.1 联想全等，构图位似

本题可以通过先构造全等再位似对应来作图，即在△ABC内部先构造与△ADE全等的三角形（或在△ADE外部构造与△ABC全等的三角形），然后根据位似对应来确定点P.

作法1：如图3，分别在AB，AC上截取AF，AG，使AF＝AD，AG＝AE.由△ABC自位似轴对称变换得到△ADE，则∠DAE＝∠FAG，于是有△AFG≌△ADE.以A为圆心，AQ为半径画弧，与FG交于点M，延长AM交BC于点P.

作法2：如图4，分别在AD，AE的延长线上截取AF，AG，使AF＝AB，AG＝AC.由△ABC自位似轴对称变换得到△ADE，则∠DAE＝∠FAG，于是有△AFG≌△ABC.延长AQ交FG于点M，以A为圆心，AM为半径画弧，交BC于点P.

3.2 联想概念，构图对称

本题定义了“自位似轴对称变换”，在解决问题的过程中联想概念，也可以通过构造轴对称得到点P.

作法3：如图5所示，作∠DAB的角平分线l，则l为△ABC和△ADE成自位似轴对称变化的对称轴.作Q关于l的对称点M，连接AM，并延长交BC于点P.

3.3 联想对应，构图平行

作图的本质即是推理.本题中，点Q的位置是确定的，因而点Q在△ADE中相对于其他元素的位置关系也是确定的，比如AQ，EQ，DQ等长度.根据题目中的定义，对应点P的位置是确定的，如AP，BP，CP等长度.由此可以构图平行，根据自位似图形对应线段的比与相似比相等确定点P.

作法4：如图6，过点Q作QF∥AE，交AD于点F，在AB上截取BM＝DF，MN＝AF，连接CN，作MP∥CN，交BC于点P.

从以上三种思路四种作法的对比来看，联想全等是学习中对已有活动经验的迁移，联想概念是对数学概念的即时学习能力的体现，联想对应则需要学生有较强的逻辑推理能力.三种思路的本质都是图形变化中“对应”思想的体现.

4 教学启示

4.1 从“联想”到“构图”，夯实几何推理的基础

我们看美景，如若词穷，见美景也只能感慨“好看”二字，难以想到更美词句.其实，解题亦如是，没有可联想的知识基础，思维也会“贫穷”.本题的解题过程需要学生对轴对称变化与相似变化等基础知识、相关概念、基本图形等有深刻的理解，这些知识在几何推理的学习中，给人的感觉是“死”的，其实“无死不活”，没有这些牢固的基础，就没有几何推理思路中层出不穷的“活”.故而几何推理的教学需要关注基础知识、基本图形之间的关系，需要从“联想”到“构图”，将概念、基本事实以及定理的教学和图形结合起来，从基本图形出发认识基础推理，在依据的几何语言转化上下功夫，以多种形式帮助学生巩固这些基础知识和基本图形.

4.2 从“整体”到“局部”，认识图形变化的性质

图形变化是培养几何推理能力的主要载体，初中阶段图形变化的学业要求指出“要理解轴对称、旋转、平移这三类基本图形运动，知道三类运动的基本特征，会用图形的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象”.这一要求具体到教学中，就是要引导学生深度理解图形变化，从整体到局部认识图形变化中的“变中不变”“变中有序”等性质，从整体的变化要素切入，研究图形局部元素之间的数量、位置等关系.这种从整体看局部的观点形成之后，有利于学生自主探索图形变化的相关规律，逐步形成“动静结合”的眼光.

4.3 从“多解”到“优化”，培养学生发散性思维

本题的素材价值的发掘是多方面的，而围绕多解和优化来培养学生发散性思维，提升几何推理能力是其重要体现.有利于学生围绕一题从“广度”进行思考，将相关知识和方法建立联系，从而感受“学到的不再是孤立的专题，而是知识的有机整体”[1].如以本题为教学素材，可以帮助学生通过“多解”达成培养发散思维的目的.当然，在关注一题多解的同时，也要关注多解优化，优化的过程是培养发散思维的深度体现，是以发散为基础的集中，需要学生对多样的方法进行“比较”.“这里的所说的比较，既是指找出对象的共同点，也可以指集中于对象的不同之处，或同时关注它们的同与不同”[2].这有助于学生在思维发散的同时聚焦，关注不同思路之间的关系，认识不同思路、方法的异同点，寻找其本质，形成更优化、更简洁的思考路径.

一题一系统，一法一风景.以题为载体探寻几何推理能力的培养只是几何学习的一种主要方式，其中联想构图、多解优化的学习方式应在几何概念、定理等教学中予以更多关注，从而更好地帮助学生提升几何推理能力，发展数学核心素养.

参考文献：

[1]马立平.小学数学的掌握和教学[M].李士锜，吴颖康，等，译.上海：华东师范大学出版社，2011：116.

[2]郑毓信.数学深度教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020：196.