构建模块系统 突破教学难点

数学概念比较抽象，知识点多，题目千变万化，使得初中数学的教与学始终是难点.针对问题，笔者尝试寻找“生长原点”，充分梳理挖掘知识点、题目之间的本质特征与内在联系，对教学进行系统设计，创设情境明晰背景，循序渐进重过程，以内在关系为主线，以核心素养发展为目标，构建模块系统，效果显著.现例谈个人的实践做法与思考.

1 知识点教学中构建知识模块系统

选准生长原点，设计系统化问题串，引领学生深度探究，以形成知识串、知识树.让每一个知识点来龙去脉清晰，有根源，有归属；让知识点之间有关联，有网络，形成知识系统.

例如：在学习三角形的中线时，笔者设计了如下问题串.

问题1 阅读课本，说一说什么是三角形的中线？

问题2 动手画一个△ABC，并画出它的一条中线AD.

问题3 在图1中，看到中线AD你能想到什么？

分析：问题1是让学生阅读文本，初步了解三角形中线.问题2是让学生动手实践，感受中线的特征.问题3是开放性问题，引领学生深度思考，引导学生把碎片化的小知识点生成一个较为完备的关于三角形中线的知识模块系统，看到三角形中线就能想到中线平分线段、平分三角形的面积，想到一连串的结论，想到整个模块系统.形成发散、拓展的意识与习惯，提升解决复杂问题的能力.

再如：在学习特殊的平行四边形时，笔者整合教材设计了如下问题串，引导学生进行系统化学习.

问题1 画一个平行四边形，对照图形说一说平行四边形有哪些性质？（有学生画出的平行四边形如图2所示.）

问题2 你能将图2中的平行四边形改造成一个特殊的平行四边形吗？特殊在哪里？你还有不同的办法吗？

问题3 类比、对比平行四边形，想一想你改造成的特殊四边形有哪些性质？

分析：问题1是回顾复习平行四边形的概念与性质，是构建特殊平行四边形这一知识模块系统的原点，是为探究特殊平行四边形的概念与性质做好知识准备.问题1始于动手操作，以做回顾，借助图形直观梳理表达，在表达中思考.问题2是开放性问题，是以问题1为原点驱动学生自主探究，在问题探究中深入，让思维发展拓展.引导学生改造边，使邻边相等而生成菱形；改造角，使一个角是直角而生成矩形；既改造边又改造角，而生成正方形.问题3是引导学生类比、对比平行四边形，根据边、角的变化得到特殊平行四边形的性质.最终生成由平行四边形出发生成的特殊平行四边形知识系统（如图3）.使平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的内在关系一目了然，让数学知识系统化、模块化、规律化，让数学学习层次化、体系化，渐进而深刻，简捷而高效.

2 题目训练中构建题组模块系统

由基础题目出发，抓住题目间的内在联系与规律，层层深入，环环相扣，系统地设计变式问题，让题目渐进变化，不断发散拓展，构建成题组模块.让学生做一组题，会一类题，建立起一个题组模块系统，同时在不断的转化中解决问题，自然生成思想与方法模型.

例如：关于“两点之间线段最短”的应用，笔者设计了如下题组模块.

问题1 如图4所示，A，B是河流l异侧的两个村庄，现需在河流l上建一座水站P向两个村庄供水，请问水站P建在哪儿可以使水站到两个村庄之间铺设的水管最短？

分析：问题1是基本问题，是题组的“原点”，是“两点之间线段最短”的直接应用.由于点A，B在l的异侧，所以可以直接连接AB，找到水站P的位置，如图5所示.

问题2 如图6所示，A，B是河流l同侧的两个村庄，现需在河流l上建一座水站P向两个村庄供水，请问水站P建在哪儿可以使水站到两个村庄之间铺设的水管最短？

分析：在问题1的基础上提出问题2，唯一的变化是A，B两点由异侧变为同侧，渐进的问题串，能启发、引导学生作点A关于l的对称点，把“同侧”转化为“异侧”而突破难点，如图7.

问题3 如图8所示，点A，B是河流（两岸m，n为直线且相互平行）异侧的两个村庄，且点A在河岸m上，现需在河上建一座桥（桥与河岸垂直），请问桥建在哪儿可以使两个村庄之间的路径最短？此问题与问题1有什么关系？

分析：问题3与问题1的变化之处是河流有了宽度，这样过河走的路径不再是河两侧的两部分之和，而是变成了河两岸的两部分与桥的长度三部分之和，同时由于已知桥与河岸垂直，显然不能再像问题1直接连线段，利用两点之间线段最短.但河的两岸平行，桥与河岸垂直，所以桥的长度为河宽是定值.就意味着无论桥修在哪，桥上距离始终不变，所以，只需上桥之前走的路与过桥之后走的路径之和最短即可.于是可以把河压缩成一条直线n，就转化成问题1，只需过点A作直线n的垂线，找到垂足A′，线段AA′就是桥的位置.此时，上桥之前走的路径变成零，所以上桥之前路径与过桥之后走的路径之和转化为一条线段A′B，如图9所示.如果不是从A点而是选任意一点作河岸的垂线建桥，则上桥前走的路径与下桥后的路径不能拼成一条直线段，是两条线段拼成的折线，必不是最短.

问题4 如图10所示，A，B是河流（两岸m，n为直线且相互平行）异侧的两个村庄，现需在河上建一座桥（桥与河岸垂直），请问桥建在哪儿可以使两个村庄之间的路程最短？

分析：此问题是问题3的变式，变化之处是A村庄不在河岸上，所以只需平移河流让村庄A在河岸上，就转化成了问题3.易得桥应建在CD处，最短路径是ACDB，如图11.

问题5 如图12所示，在边长为5 cm正方体的一个顶点A处有一只小蚂蚁，它要爬到顶点C处，它如何爬行距离最短？最短距离是多少？

分析：此问题与前面问题的主要区别是求不同平面上两点间的距离，放到题组模块中，学生很容易想到展开转化成平面问题来解决，完成从平面到空间的推进，如图13.

问题6 如图14所示，长、宽、高分别是2 cm，1 cm，4 cm的长方体顶点A处有一只小蚂蚁，它要爬到顶点C处，如何爬行距离最短？最短距离是多少？

问题7 如图18所示，在一个圆柱石凳上，一只蚂蚁在A处，它想从A处爬向B处吃食物，想一想，蚂蚁怎么走最近？

①如果圆柱的高是10，底面直径是2，那么蚂蚁走过的最短距离是多少？

②如果圆柱的高是1，底面直径是10，那么蚂蚁走过的最短距离是多少？

问题8 如图21，现有一个圆柱形玻璃杯，其高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在杯外壁，离杯上沿4 cm

与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁到达蜂蜜处的最短距离为多少cm？

分析：此问题是在问题7的基础上的又一次拓展，其变化之处是蚂蚁与蜂蜜分别在杯子的内、外两侧.这就需要作对称点，转化成圆柱同侧问题.如图22，将圆柱侧面展开，过点C作CQ⊥EF于点Q，作点A关于EH的对称点A′，连接A′C，交EH于点P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离.求出A′Q，CQ，在Rt△A′QC中，根据勾股定理求出A′C即可.易得所求最短距离为15 cm.

从问题1到问题8，围绕”两点之间线段最短”这一出发点，从同一平面内的异侧到同侧，从河流的不计宽度到有宽度，从平面再到空间，从正方体到长方体，从“瘦圆柱”到“胖圆柱”，从圆柱的同侧到异侧，层层深入，不断变化，从简单到复杂，从特殊到一般，渐进生成两点之间线段最短的模块系统，让学生在探究中建立起解决两点之间线段最短的思想方法.

总之，数学教学中构建模块系统，能使抽象杂乱的数学知识系统化，能使解决问题的方法模型化，能使探究的过程充满故事情节，不仅能突破初中数学教学难点，还能让学生体验数学的内在结构之美，享受探究过程的曲折动人，让数学的学习充满情趣.