巧借韦达定理破解斜率之商

摘要：直线与圆锥曲线问题是解析几何中的重要内容，韦达定理是解决这类问题的关键工具.本文中将通过一道原创题目的分析和详细讲解，帮助读者更好地理解和应用韦达定理.

关键词：圆锥曲线；直线；韦达定理

1 题目呈现

原创题" 椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;0，bgt;0），焦点到椭圆准线的最短距离为33，离心率为32.

（1）求椭圆方程；

（2）若A为椭圆的上顶点，点T（0，－2）在椭圆外，过T作直线与椭圆交于P，Q两点（A，P，Q三点不重合），求kAPkAQ的取值范围.

2 命题背景

富瑞吉定理" 椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），p（x0，y0）是椭圆上一定点，A，B为椭圆上两个动点，记PA，PB斜率记为k1，k2.（如图1）

（1）若k1+k2=0（yo≠0），则kAB=b2x0a2y0.

（2）若k1+k2=t，则直AB过定点x0－2y0t，－y0－2x0t·b2a2.

（3）若k1·k2=b2a2（xo≠0），则kAB=－y0x0.

（4）若k1·k2=λ，直线AB过定点（μx0，－μy0）.其中μ=λa2+b2λa2－b2.

若题目所给曲线为双曲线，则将上述式子的“b2”换为“－b2”即可.

3 命题过程

我们借助富瑞吉定理中的（4），设计了一道直线过定点，求解斜率之商取值范围的题目，让学生对韦达定理有更深层次的认识的同时，打破学生用固定方法解具体题型的封闭思维，加强学生“广积粮”的数学理念.

第一稿：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;0，bgt;0），焦距为23，椭圆离心率为32.

（1）求椭圆方程；

（2）若A为椭圆的上顶点，直线l与椭圆交于P，Q两点.若kAP·kAQ=34.证明：直线PQ过定点.

反思：

（1）学生一看就知道是齐次化问题，特征太明显.

（2）没有任何难度，试题平常化，不符合新高考的要求.

第二稿：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;0，bgt;0），焦点到椭圆准线的最短距离为33，椭圆离心率为32.

（1）求椭圆方程；

（2）若A为椭圆的上顶点，点T（0，－2）在椭圆外，过T作直线与椭圆交于P，Q两点（A，P，Q三点不重合），求kAP+2kAQ的取值范围.

反思：

（1）若学生使用齐次化，则可直接解决问题（斜率之积为定值）——创新型不足.

定稿：椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;0，bgt;0），焦点到椭圆准线的最短距离为33，离心率为32.

（1）求椭圆方程；

（2）若A为椭圆的上顶点，点T（0，－2）在椭圆外，过T作直线与椭圆交于P，Q两点（A，P，Q三点不重合），求kAPkAQ的取值范围.

4 思维导图

本题思维导图见图2.

5 解答过程

解：（1）过程略.椭圆方程为x24+y2=1或y24+x2=1.

（2）由题得C：x24+y2=1.

解法1：设直线方程为y=kx－2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

联立y=kx－2，x24+y2=1，得（4k2+1）x2－16kx+12=0，则

x1+x2=16k4k2+1，x1x2=124k2+1.

因为Δgt;0，所以k∈－∞，－32∪32，∞，其中kx1x2=34（x1+x2）.

由kAPkAQ=y1－1x1y2－1x2=y1x2－x2y2x1－x1=kx1x2－3x2kx1x2－3x1=kx1x2－3（x1+x2）+3x1kx1x2－3x1，

kx1x2=34（x1+x2），可

得kAPkAQ=kx1x2－3（x1+x2）+3x1kx1x2－3x1=－3kx1x2+3x1－（-kx1x2+3x1）=－－3kx1x2+9x1－6x1－kx1x2+3x1=－3+6x1－kx1x2+3x1=－3+6－kx2+3=－3+6－y2+1.

当直线与椭圆相切时，Δ=0，即（16k）2－4×12×（4k2+1）=0，解出k=±32，故切点纵坐标为y切=－12，则y2∈－1，－12∪－12，1.

综上所述kAPkAQ∈（0，1）∪（1，+∞）.

解法2：设lPQ：x=tcos θ，y=tsin θ－2（t为参数）.

将lPQ与椭圆方程联立，得t1+t2=16sin θ1+3sin 2θ，t1t2=121+3sin 2θ，且34（t1+t2）=t1t2·sin θ.

令P（t1cos θ，t1sin θ－2），Q（t2cos θ，t2sin θ－2），则kAPkAQ=t1t2cos θsin θ－3t2cos θt1t2cos θsin θ－3t1cos θ

=t1t2sin θ－3t2t1t2sin θ－3t1，由分离常数法可得kAPkAQ=t1t2sin θ－（3t2+3t1）+3t1t1t2sin θ－3t1.

因为3（t1+t2）=4t1t2·sin θ，所以kAPkAQ=t1t2sin θ－4t1t2sin θ+3t1t1t2sin θ－3t1=－3t1t2sin θ+3t1t1t2sin θ－3t1

=－3t2sin θ+3t2sin θ－3==－3（t2sin θ－3）－6t2sin θ－3=－3－6t2sin θ－3.当t1=t2时，t2sin θ=32.由题得t1≠t2，所以t2sin θ≠32，即kAPkAQ=－3－6t2sin θ－3≠1.由对称性可得，P，Q两点位于y轴的同侧，所以kAPkAQgt;0.

综上所述kAPkAQ∈（0，1）∪（1，+∞）.

解法3：椭圆向下平移一个单位长度，得x24+（y+1）2=1.设lPQ：y=tx－3，与椭圆方程联立得x2+4y2+8y=0，即x2+4y2+8ytx3－y3=0，方程两边同除以x2得43k2+8t3k+1=0，则

kAP+kAQ=－2t，kAP·kAQ=34.

因为Δgt;0，所以t∈－∞，－32∪32，+∞.

因为（kAP+kAQ）2kAP·kAQ=kAPkAQ+kAQkAP+2，所以令kAPkAQ=n，则n+1n+2=163t2.

因为t∈－∞，－32∪32，+∞，所以t2gt;34.故n+1n+2=163t2gt;4，化简为

n+1ngt;2.由对称性可得，P，Q两点位于y轴的同侧，所以kAPkAQgt;0，即ngt;0，则n2+1gt;2n，n2－2n+1gt;0，解出n∈（0，1）∪（1，+∞）.故kAPkAQ∈（0，1）∪（1，+∞）.

6 试题链接

（2018年浙江台州高三期末第21题）设点P为抛物线y2=x外一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.

（1）若点P（－1，0），求直线AB的方程；

（2）若点P为圆（x+2）2+y2=1上的点，记两切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求1k1－1k2

的取值范围.

解：（1）过程略，直线AB的方程为x=1.

（2）设P（x0，y0），因为点P在圆上，所以y20=－x20－4x0－3，x0∈［－3，－1］.

令点P处的切线方程为y=k（x－x0）+y0.联立y=k（x－x0）+y0，y2=x，得ky2－y－kx0+y0=0.

由Δ=0，得4k2x0－4ky0+1=0，则k1，k2即为此方程两个不等的实数根，则k1+k2=y0x0，k1·k2=14x0.所以1k1－1k2=k2－k1k1k2=|4x0|＼5（k1+k2）2－4k1k2=4x0＼5y20x20－1x0=4－x20－5x0－3.

由x0∈［－3，－1］，得－x20－5x0－3∈1，134，所以1k1－1k2∈［4，213］.

7 检测评价

本题通过班级测试，得分情况统计如表1所示.

第（2）问选择解法1的学生在表示出kAPkAQ=kx1x2－3x2kx1x2－3x1以后，多数想不到利用分离常数法结合和积互化思想去消参，进而求解取值范围.没有学生选择解法2.选择解法3的学生在（k1+k2）2k1k2=k1k2+k2k1+2这一关键步骤上没有想到，导致后续无法进行.

本题若用常规解法，一定要联想到分离常数是我们解决分式取值范围的重要手段.但与非对称韦达放在一起时，学生却很难想到.学生习惯去做非对称韦达形式下的定点定值问题以及利用齐次化解决定点定值问题，一旦遇见打破固定思维和解法的题目，往往不知所措.因此，数学方法与思想在解题过程的连贯性以及使用的契合度是学生需要加强的，也是本题考查的目的.

8 命题体会

（1）一道试题的解答要用到多种数学方法，这会是今后高考大题的一个考向.从“深挖坑”到“广积粮”就是一个数学知识、数学方法、数学思想的一个融会贯通，而不是局限于一个解法突破题目.

（2）解题思想和解题方法的融会贯通是我们这一次命题最大的收获.多种解题方法的使用熟练度以及思考过程的连贯性在高考考场中太重要了.平时教学就把方法说清楚、讲明白，学生会使用、能总结.这样学生才能在解答题目时应用数学方法游刃有余.