导数在解三角函数问题中的运用

摘要：导数为研究函数提供了新的方向，因此导数与三角函数相结合的问题也成为了高考的一类热点问题.导数与三角函数的结合，是在函数背景下考查三角函数问题，主要涉及求导公式、导数的几何意义、解三角形、三角恒等变换等基础知识，且在选择题、填空题以及解答题中均有较大的几率出现.本文中主要通过相应的例题帮助学生分析常考题型的解题要领，以便提升正确率.

关键词：导数；三角函数；解题技巧

导数是中学数学的重要内容，也是解题技巧的重要媒介.特别是在三角函数问题中使用非常频繁，下面将通过三部分内容进行简要分析.

1 导数与三角恒等变换的整合

导数与三角恒等变换整合类问题重点考查三角函数的求导公式、导数的运算与几何意义等知识.常见的题型包括求在某一点处的切线的斜率，求某一点处的切线方程等，难度较大，解答此类型问题的关键就是要对求导法则和常见的函数导数公式足够熟悉，熟练掌握三角恒等变换的常用公式与方法，以及特殊角的三角函数值，除此之外，还需要明确导数的几何意义［1］.

例1" 曲线y=sin xsin x+cos x-12在点Mπ4，0处的切线的斜率为（" ）.

A.-12

B.12

C.-22

D.22

思考：本题考查的侧重点是运算求解能力，主要以导数为载体考查同一角的三角函数的平方关系和特殊角的三角函数值.

解析：由y=sin xsin x+cos x-12，得

y′=sin xsin x+cos x′

=cos x（sin x+cos x）-sin x（cos x-sin x）（sin x+cos x）2

=1（sin x+cos x）2.

当x=π4时，y′=1sinπ4+cosπ42=12.

所以，曲线在点Mπ4，0处的切线斜率为12.

故选：B.

例2" 曲线y=sin xsin x+cos x-sin 2x在点Nπ4，0处的切线的斜率为（" ）.

A.-12

B.12

C.-22

D.22

思考：此题先根据已知条件求出函数的导函数，再将x=π4代入运算，即可得出曲线在点Nπ4，0处的切线斜率.

解析：由y=sin xsin x+cos x-sin 2x，得

y′=sin xsin x+cos x-sin 2x′

=sin2x+cos2x（sin x+cos x）2-2sin xcos x

=sin 2x+cos 2xsin 2x+cos 2x+2sin xcos x-sin 2x

=11+sin 2x-sin 2x.

所以，曲线在点Nπ4，0处的切线斜率为k=11+sinπ2-sinπ2=12-1=-12.

故选：A.

2 以导数为载体考查三角函数的性质

三角函数的性质是高中数学的重点知识，将其与导数相结合进行考查，更能反映学生对导数与三角函数性质的掌握程度，以及灵活运用能力.此类问题在选择题和填空题中均有可能出现，解答这类型问题的要领在于要熟练掌握求导法则和常见函数的导数公式，且三角函数的图象与性质也要熟练于心［2］.

例3" 已知点P在曲线y=4ex+1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（" ）.

A.0，π4

B.π4，π2

C.π2，3π4

D.3π4，π

思考：本题重点考查学生的运算能力和灵活运用知识解决问题的能力，考查运用基本不等式求函数最值的方法，导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率的关系，函数图象与性质.

解析：根据题意可得y′=4ex+1′，则

y′=-4ex（ex+1）2=-4exe2x+2ex+1=-4ex+1ex+2

≥-42ex＼51ex+2=-1.

又ex＞0，则y′＜0，所以-1≤y′≤0.

于是-1≤tan αlt;0.

所以3π4≤αlt;π.故选：D.

练习" 已知点P在曲线y=43ex+1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（" ）.

A.0，π3

B.π3，π2

C.π2，2π3

D.2π3，π

3 利用导数研究三角函数的单调性与极值

单调性与极值是函数的重点内容，因此在三角函数中也应当作为重点考查.三角函数的单调性与极值在选择题与填空题中常以单独一个题的形式存在，但在解题中却常为重要的步骤而存在.解答这类问题的要领在于熟练运用

求导法则与常见函数的导数公式，清晰明确运用导数求函数单调区间和极值的基本思路与过程，熟练掌握三角恒等变换的方法与公式，除此之外，三角函数的图象与性质也是必须掌握的内容.

例4" 设函数f（x）=sin x-cos x+x，0lt;xlt;2π，求函数f（x）的单调区间与极值.

思考：本题的重点在于导数的运算，即运用导数分析函数单调性和极值的方法，对学生综合运用知识解决问题的能力有一定要求.通过导数分析函数的单调区间和极值，当导数等于零时得到的自变量值可能是极值点，借此列表得到不同区间内导数的正负性并得到函数单调区间与极值.

解：由f（x）=sin x-cos x+x，可得

f′（x）=cos x+sin x+1=2sinx+π4+1.

由f′（x）=0，得

sinx+π4=-22.

又0lt;xlt;2π，

所以x=π或x=3π2.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表1所示.

表1

x（0，π）ππ，3π23π23π2，2π

f′（x）+0-0+

f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增

由表1可得：

在区间（0，π）与3π2，2π上，函数f（x）单调递增；

在区间π，3π2上，函数f（x）单调递减.所以函数f（x）的极小值为f3π2=3π2-1，极大值为f（π）=π+1.

练习" 设函数f（x）=sin x-3cos x+x，0lt;xlt;2π，求函数f（x）的单调区间与极值.

三角函数在高中数学中具有重要地位，在高考中占有较大分值，且三角函数的图象与性质、恒等变换等内容均是重点考查的内容，而导数也是近几年的热门内容之一，将三角函数与导数结合，考查方式新颖.本文中提供了应用导数解决三角函数问题的三种题型：导数与三角恒等变换的整合，以导数为载体考查三角函数的性质，利用导数研究三角函数的单调性与极值.不同题型对应的解题方式各不相同，有助于学生快速采取正确合理的思路解答这一类问题.通过对上述例题的分析，希望能帮助学生在学习过程中针对不同的问题，灵活解答，以此提高解题效率.

参考文献：

［1］杨利刚.导数在三角函数问题中的应用［J］.中学数学教学，2008（3）：35-35.

［2］蔡勇全.例谈导数在解答三角函数问题时的几种\"活用\"［J］.数理化学习（高中版），2016（9）：29-34.