巧用“角”，解决双曲线离心率的问题

摘要：在近几年的高考、模拟考试中有不少涉及双曲线离心率的问题.学生在解决此类问题时，经常束手无策，或者由于运算量大而中途放弃.本文中主要介绍求解双曲线的离心率问题时，考虑双曲线的对称性，利用渐近线的斜率、倾斜角，结合条件分析出a，b之间的关系，再计算离心率，突破重难点.

关键词：双曲线;渐近线;斜率;离心率

例1" （2023湛江二模）（多选）已知双曲线C：y2a2－x2b2=1（agt;0，bgt;0）的上焦点为F，过焦点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与另一条渐近线交于点B，若|FB|=4|AF|，则C的离心率可能为（" ）.

A.263

B.153

C.2105

D.253

分析：在双曲线中，焦点到渐近线的距离恒为b.此结论可以通过点到直线的距离公式计算得到.由对称性可知，两焦点到渐近线的距离都相等，取上焦点F（0，c），一条渐近线y=abx，即ax－by=0，则d=|bc|a2+b2=b.

解析：当a=b时，直线FA与另一条渐近线平行，不符合题意，故a≠b.

当alt;b时，如图1所示，由|AF|=b，得|FB|=4b，所以|AB|=3b.

在Rt△OFA中，

|OF|=c，FA⊥OA，则

|OA|=a.

设直线y=abx的倾斜角为α，则tan α=ab.

在△OAB中，由双曲线的对称性可知，∠AOB=2α，且tan∠AOB=tan 2α=|AB||OA|=3ba.

根据正切的二倍角公式tan 2α=2tan α1－tan 2α，可得3ba=2×ab1－ab2，整理得3b2=5a2，即b2a2=53.

所以双曲线的离心率e=ca=1+53=263.

当agt;b时，如图2所示，由|AF|=b，得|FB|=4b，所以|AB|=5b.

在Rt△OFA中，

|OF|=c，FA⊥OA，则

|OA|=a.

设直线y=abx的倾斜角为α，则tan α=ab.

在△OAB中，由双曲线的对称性可知，∠AOB=2π2－α，且

tan∠AOB=tan 2π2－α=|AB||OA|=5ba，即－tan 2α=5ba.

由二倍角正切公式可得5ba=－2×ab1－ab2，化简整理得5b2=3a2，即b2a2=35.

所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=2105.

综上可得，该双曲线的离心率可能为263或者2105.故选：AC.

在求解此类双曲线的离心率问题时，若涉及渐近线、焦点、过焦点的直线与渐近线垂直等条件时，通常可以借助双曲线渐近线的斜率与倾斜角进行转化，同时考虑焦点到渐近线的距离恒为定值b，可以化繁为简、化难为易，从而简化代数运算过程，根据条件，找到a与b的关系，最后计算得出双曲线的离心率e［1］.

例2" （2023山东青岛模拟）设F是双曲线C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若2AF=FB，则双曲线C的离心率是（" ）.

A.2

B.2

C.233

D.143

解析：根据题意，可作出如图3所示的图形.

由条件知|AF|=b，因为2AF=FB，所以2|AF|=|FB|，

则|FB|=2b，|AB|=3b.

在Rt△OFA中，

|OF|=c，FA⊥OA，则|OA|=a.

设渐近线y=bax的倾斜角为α，则tan α=ba.

在Rt△OAB中，由双曲线的对称性及渐近线的倾斜角可知，

∠AOB=2α，且tan∠AOB=|AB||OA|=3ba.

根据正切的二倍角公式tan 2α=2tan α1－tan 2α，可得

3ba=2×ba1－ba2，整理得1－ba2=23，即b2a2=13.

所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=233.

故选：C.

此题若把条件中的“2AF=FB”改为“2|AF|=|FB|”，双曲线的离心率e=233或2.可以发现此种情况下用“角”来解决离心率的问题，就十分简便.

变式练习

（1）已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0），过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，l与C的另一条渐近线交于点B，若AF=25AB，则C的离心率为（" ）.

A.305

B.2

C.233

D.52

答案：A.

（2）已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若5AF2=F2B，则双曲线C的离心率e为.

答案：153.

小结：以上涉及双曲线离心率的问题，均考虑了双曲线渐近线的斜率和倾斜角，结合正切的二倍角公式，可以简化复杂的代数运算，得出关于ba的等式，再根据双曲线的离心率公式即可求得该双曲线的离心率.特别注意，条件中线段的关系是以向量还是非向量的形式给出，决定了离心率的值是一个结果还是多个结果的可能［2］.

例3" 如图4所示，已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的右焦点为F，过点F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若AF=2FB，则该双曲线的离心率为（" ）.

A.324

B.233

C.305

D.52

分析：此题直接给出直线l的倾斜角与渐近线倾斜角的关系，既可以从代数方法入手，通过联立直线l的方程与渐近线方程，得出A，B两点的坐标，结合条件算出离心率，也可以从“角”的角度直接加以分析，在△ABO中，结合边与角关系找出a和c的关系，从而得到离心率.

解法1：用代数方法.

因为双曲线的渐近线方程为y=±bax，所以

由直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍可得kl=2×ba1－ba2=2aba2－b2.

所以直线l的方程为y=2aba2－b2（x－c），分别与渐近线方程y=bax，y=-bax联立得yA=2abca2+b2，yB=－2abc3a2－b2.

将AF=2FB转化为坐标关系，得yA=－2yB，则2abca2+b2=－2－2abc3a2－b2，

化简为a2=3b2，从而e=ca=1+b2a2=1+13=233.

解法2：用“角”的方法.

设渐近线OA的倾斜角为α，则直线l的倾斜角为2α，

所以∠OAF=α，则OF=AF=c.

由AF=2FB，得|FB|=12|AF|=12c，因此AB=32c.

因为双曲线的焦点F到渐近线OA的距离为b，所以在等腰三角形AOF中，不难得出OA=2a.

根据双曲线的对称性知，∠BOF=∠AOF=∠OAF=α，所以

△OAB∽△FOB，因此BFOF=BOAO=12，得出BO=12AO=a.

由于tan α=ba，c2=a2+b2，因此cos α=ac.

在△ABO中，利用余弦定理可得cos∠OAB=（2a）2+32c2－a22×2a×32c=ac，化简得3c2=4a2.

所以双曲线的离心率e=ca=233.

在具体运用双曲线渐近线的斜率、倾斜角等求离心率时，要注意已知条件，即已知条件涉及渐近线的斜率或倾斜角、过焦点的直线与渐近线垂直等，可以用“角”进行转换求解离心率.

参考文献：

［1］张仙艳.一道双曲线错题引发的思考［J］.数学通讯，2022（3）：31-32，43.

［2］施建昌，金晓江.运用矩形性质巧解一类长度问题［J］.中学数学教学参考，2022（1）：48-49.